Korrelationskoeffizient berechnen

25.07.2009, 19:43

Al-m

Korrelationskoeffizient berechnen

Hi,

ich lerne momentan für Systemtheorie und behandle das Thema Kalman-Filter, wo auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Rolle spielt. Nun habe ich wirklich wenig bis keine Ahnung von Wahrscheinlichkeitsrechnung und tue mich sehr schwer mit den Aufgaben.

Nun zum Problem:
Ich soll den Korrelationskoeff. rho der Zufallsvariablen v und w berechnen.

Nun weiß ich, dass gilt $\begin{eqnarray*} \frac{E(v \cdot w)}{\sigma_v \cdot \sigma_w} \end{eqnarray*}$

Mein v ist $\begin{eqnarray*} v=2(x-E(x))+4(y-E(y)) \end{eqnarray*}$ und mein w $\begin{eqnarray*} w=-(x-E(x))+(y-E(y)) \end{eqnarray*}$
Mein $\begin{eqnarray*} \sigma_v^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma_v^2= \frac{136}{9} \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} \sigma_w^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma_w^2= \frac{10}{9} \end{eqnarray*}$
Den Erwartungswert von x und y habe ich vorher berechnet: $\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(y)= \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

So nun habe ich die folgende Gleichung aufgestellt und komme mit dem Zähler nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \rho=\frac{E[(2(x-E(x))+4(y-E(y))) \cdot (-(x-E(x))+(y-E(y))]}{\sigma_v \cdot \sigma_w} \end{eqnarray*}$

Weitere Ergebnisse, die helfen könnten wären: $\begin{eqnarray*} E(x^2)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} E(y^2)=8 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \sigma_x^2= \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_y^2= \frac{8}{9} \end{eqnarray*}$

Ich wollte aus der Lösung schlau werden, aber dort steht nur das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{-2 \sigma_x^2 + 4 \sigma_y^2}{\sigma_v \cdot \sigma_w}=0.759 \end{eqnarray*}$ .
Ich versuche schon seit Stunden aus den Unterlagen über Wahrscheinlichkeitsrechnung schlau zu werden und den Zähler ordentlich umzuformen, aber nix hilft. Hoffe mir kann jmd. hier helfen.

26.07.2009, 00:09

Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem Beispiel scheinen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ unabhängig zu sein? Das musst du dazusagen, denn diese Information ist essentiell für die weitere Rechnung!!!

Du kannst dir eine Menge Schreibarbeit sparen, wenn du gleich zu den zentrierten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} x_0 := x-E(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 := y-E(y) \end{eqnarray*}$ übergehst, für die gilt

$\begin{eqnarray*} E(x_0) = E(y_0) = 0, \quad \sigma_{x_0}^2 = E(x_0^2) = \sigma_{x}^2 = \frac{2}{9}, \quad \sigma_{y_0}^2 = E(y_0^2) = \sigma_{y}^2 = \frac{8}{9} \end{eqnarray*}$ ,

außerdem sind $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \end{eqnarray*}$ unabhängig, woraus $\begin{eqnarray*} E(x_0 \cdot y_0) = E(x_0)\cdot E(y_0) = 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Damit ist man jetzt gerüstet, für dein $\begin{eqnarray*} v = 2x_0+4y_0, w = -x_0 + y_0 \end{eqnarray*}$ den Zähler des Korrelationskoeffizienten zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} E(v \cdot w) = E((2x_0+4y_0) \cdot (-x_0 + y_0)) = E(-2x_0^2 - 2x_0y_0 + 4y_0^2) = -2E(x_0^2) - 2E(x_0y_0) + 4E(y_0^2) = -2\sigma_x^2 + 4\sigma_y^2 \end{eqnarray*}$ .

26.07.2009, 12:29

Al-m

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Ja x, y sind unabhängig. Das habe ich vergessen zu erwähnen.

Ich bin gestern schon bis zur Zeile $\begin{eqnarray*} E(-2x_0^2 - 2x_0y_0 + 4y_0^2) \end{eqnarray*}$ gekommen. Jedoch habe ich es nur aus Vereinfachungsgründen zusammengefasst, was sehr fahrlässig ist, wenn man nicht weiß was man macht. smile

Was ich aber nicht ganz verstehen kann ist, wieso $\begin{eqnarray*} E(x_0) = E(y_0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Mir war nur bekannt, dass aus stat. Unabhängigkeit $\begin{eqnarray*} E(x_0 \cdot y_0) = E(x_0)\cdot E(y_0) \end{eqnarray*}$ folgt, aber nicht $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ .

26.07.2009, 13:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Herrje, muss man denn jeden kleinen Schritt erläutern:

Zitat:

Original von Arthur Dent
wenn du gleich zu den zentrierten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} x_0 := x-E(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 := y-E(y) \end{eqnarray*}$ übergehst

Dann folgt nach Definition

$\begin{eqnarray*} E(x_0) = E(x-E(x)) = E(x) - E(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

analog $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ . Deswegen doch auch der Begriff "zentriert".

26.07.2009, 13:19

Al-m

Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich war das nicht so selbstverständlich, deshalb frage ich lieber.
Dank dir!

26.07.2009, 13:21

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist eines der immer und immer wiederkehrenden Konstrukte in der Stochastik, sogar schon in der Schulstochastik - sollte jedenfalls so sein.

Neue Frage »

Antworten »

Korrelationskoeffizient berechnen

Verwandte Themen