Konvergenz von Fourier Reihen
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26.07.2009, 00:14 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Fourier Reihen
Hallo. In dem Skript "www3.mathematik.tu-darmstadt.de/fb/mathe/lehre-und-studium/elektronisches-veranstaltungssystem.html?evsid=32&evsver=108&evsdir=180&evsfile=anaII_fourier.pdf" (auf Seite 7) zu Fourier Reihen bin ich auf einen Satz gestoßen, in dem die Rede von "links- und rechtsseitig stetig differenzierbaren" Funktionen ist. So weit ich das verstehe, wird für den geführten Beweis nirgendwo die Stetigkeit des Ableitung gebraucht. Allerdings macht das folgende Korollar genau dies zur Voraussetzung. Könnte mir bitte jemand die Augen öffnen?

Gruß Zahlenkrücke
26.07.2009, 07:01 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Fourier Reihen
Zitat:
Original von Zahlenkrücke
So weit ich das verstehe, wird für den geführten Beweis nirgendwo die Stetigkeit des Ableitung gebraucht.


Diese wird im Satz auch nicht gefordert. Augenzwinkern
26.07.2009, 11:44 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Fourier Reihen
Warum wird das dann im folgenden Korollar gefordert?
26.07.2009, 14:04 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt doch auf der Hand. Schau auf die Folgerung des Satzes.
26.07.2009, 16:15 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »

Leider ist es mir noch nicht klar. Nach dem Satz ist für punktweise Konvergenz lediglich Stetigkeit und Differenzierbarkeit gefordert. Warum aber zusätzlich die Stetigkeit der Ableitung im Korollar? Oder habe nicht verstanden was "links- und rechtsseitig stetig differenzierbar" bedeutet?
26.07.2009, 19:20 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dich muss man wohl zur Einsicht prügeln. Augenzwinkern Was ist denn die Folgerung im Satz?
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26.07.2009, 20:57 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl: Ist f in a stetig und von links und rechts in a differenzierbar, gilt:
für .

Ich freue mich auf die Prügel, denn ich sehe deinen Punkt immer noch nicht.
26.07.2009, 21:49 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zahlenkrücke
Du meinst wohl: Ist f in a stetig und von links und rechts in a differenzierbar,


Nein, denn das ist keine Folgerung.


Zitat:
Original von Zahlenkrücke
für .


Das steht da doch gar nicht (Satz 11.3).
26.07.2009, 22:25 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »

Gefolgert wird doch:
für .
27.07.2009, 03:23 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und das heißt doch, dass die Fourierreihe punktweise gegen f konvergiert, wenn f stetig ist. Im Korollar wird halt noch etwas mehr gefordert. Wahrscheinlich, um die Aussage kurz und prägnant zu formulieren.
27.07.2009, 11:44 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir bitte noch erklären, was "links- und rechtsseitig stetig differenzierbar" bedeutet. Ist es so etwas wie stückweise stetig differenzierbar?
27.07.2009, 12:36 Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht doch in deiner Quelle direkt im Satz:

Zitat:
Die Funktion f sei im Punkte a linksund rechtsseitig stetig differenzierbar, d.h., es existieren die einseitigen Grenzwerte und


Cordovan
27.07.2009, 12:41 Zahlenkrücke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast recht. Allerdings ist die Existenz dieser Grenzwerte allein auf links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit zurückzuführen. Wie kommt man jetzt aber auf links- und rechtsseitig "stetig" differenzierbar?
27.07.2009, 16:03 WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zahlenkrücke
Wie kommt man jetzt aber auf links- und rechtsseitig "stetig" differenzierbar?


Die Bezeichnung ist nicht besonders geschickt gewählt, wenn du das meinst. Denn mit "stetig diffbar" hat das nichts zu tun.
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