partielle Ableitung nicht stetig -> nicht total diff'bar?

Neue Frage »

26.07.2009, 12:33	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Ableitung nicht stetig -> nicht total diff'bar? Ich soll zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) = \frac{x^{3} }{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und f(x,y) = 0 für (x,y) = (0,0) nicht total differenzierbar ist. Ich habe bereits gezeigt, dass die Fkt. stetig in (0,0) ist (und natürlich auch überall sonst) und dass sie partiell diff'bar ist. Die partielle Ableitung nach x ist aber nicht stetig. Sie sieht so aus: $\begin{eqnarray} \frac{x^{4}+3\cdot x^{2}\cdot y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und 1 für (x,y) = (0,0) Folgt aus der Unstetigkeit der partiellen Ableitung nun schon, dass die Fkt. nicht total differenzierbar ist? Ich habe eine entsprechende Aussage leider nur in die andere Richtung gefunden und bin nun nicht sicher ob auch die Umkehrung gilt. Vielen Dank für eure Hilfe!
26.07.2009, 13:00	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Umkehrung gilt nicht. Es gibt total diff'bare Funktionen, deren partielle Ableitungen unstetig sind. Cordovan
26.07.2009, 13:25	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm schade. Aber wie kann ich dann zeigen, dass die Fkt. nicht total diff'bar ist? Sonst haben wir dazu immer benutzt, dass sie nicht stetig ist oder nicht partiell diff'bar, aber das beides ist die Funktion hier. Falls es hilft, hier noch die partielle Ableitung nach y: $\begin{eqnarray} - \frac{2\cdot x^{3}\cdot y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und 0 für (x,y) = (0,0)
26.07.2009, 13:32	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lauten denn die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) und was weißt du über die Richtungsableitungen bei einer differenzierbaren Funktion? Cordovan
26.07.2009, 14:08	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die partielle Ableitung nach x ist 1 bei (0,0) und die nach y ist dort 0. Müssten sie gleich sein damit die Fkt. total diff'bar ist? Ich habe noch folgende Aussage gefunden: Falls f in x total diff'bar ist, so ist die Richtungsableitung als Funktion von $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ sogar linear und kann durch den Gradienten $\begin{eqnarray} \nabla\left(f\right) \end{eqnarray}$ von f ausgedrückt werden. $\begin{eqnarray} D_{\vec{v}} f = \nabla\left(f\right) \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ Ich verstehe allerdings nicht ganz was das bedeutet. Gibt es vll ein verständliches Beispiel dazu? Ist dann $\begin{eqnarray} \nabla(f(0,0)) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Angenommen f ist total diff'bar. Dann müsste $\begin{eqnarray} D_{\vec{v}} f = \nabla\left(f\right) \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ gelten. Also $\begin{eqnarray} D_{\vec{v}} f(0,0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ist sowas wie der Einheitsvektor wenn ich das richtig verstanden hab. (1, 0) * (1, 0) = 1 und (1, 0) * (0, 1) = 0 Also wäre die Linearität erfüllt. Oder mache ich irgendwo einen groben (oder auch feinen) Denkfehler?
26.07.2009, 14:55	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst denken, dann posten... Folgendes hab ich mir jetzt überlegt: $\begin{eqnarray} D_{\vec{v}} f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x+t\cdot v_1,y+t\cdot v_2) - f(x,y)}{t} = ... = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^{3}\cdot v_{1}^{3}}{t^{2}v_{1}^{2}+t^{2}\cdot v_{2}^{2}}}{t} = \frac{v_{1}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} =! \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{v} = v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{v_{1}^{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} v_{1} \neq 0 \end{eqnarray}$ Es lässt sich leicht abschätzen, dass der Bruch < 1 ist (für $\begin{eqnarray} v_2 \neq 0 \end{eqnarray}$ ) Also ist die Richtungsableitung i.A. nicht linear und deswegen die Fkt. nicht total diff'bar. Ist das so richtig? Bitte mal drüber schauen.
Anzeige

26.07.2009, 16:05	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne deine Rechnung genau überprüft zu haben (scheint mir auf den ersten Blick zu stimmen), ist der Ansatz gut. Bedenke, dass du für v auch einen ganz konkreten Vektor einsetzen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen. Dann musst du auch den letzten Bruch nicht abschätzen, sondern siehst sofort, dass die Gleichung nicht erfüllt ist. Cordovan
26.07.2009, 16:40	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kleine Bemerkung: Die Formel $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = ~~<\mathrm{grad} f (x_0), v> \end{eqnarray}$ gilt für normierte Vektoren v, sodass $\begin{eqnarray} v_1^2+v_2^2 = 1 \end{eqnarray}$ gilt. Damit vereinfacht sich dein Term noch ein wenig.
26.07.2009, 20:26	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Mir ist auch hinterher noch eingefallen dass man nen Vektor einsetzen kann, hab allerdings nicht bedacht, dass der normiert sein muss. Vielen vielen Dank für die Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

partielle Ableitung nicht stetig -> nicht total diff'bar?

Verwandte Themen