Wahrscheinlichkeitsfunktion- Zufallsvariable

26.07.2009, 14:19

Sun

Wahrscheinlichkeitsfunktion- Zufallsvariable

Ich habe eine Frage zu Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
Sei X eine Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

x 5 10 15 20 25
P(x) 0,05 0,30 0,25 0,25 0,15

a) Bestimmen Sie E(X) und V(X)! (Das habe ich berechnen können..)

b) Bestimmen Sie E(Y) und V(Y) für Y= 4X -3

Und hier hänge ich fest: Setze ich da für X einfach die kleinen x ein und lasse die Wahrscheinlichkeiten so stehen??? (Weil ja gilt P(X=x)

c) Geben Sie den Modus und das obere Quartil an. (Das kann ich nur anhand einer Verteilungsfunktion, weil ich die Formel nicht verstehe, aber wenn ich immer zeichnen muss, brauche ich ja ewig?)

Könnte mir jemand helfen, ich wäre sehr dankbar!!!

26.07.2009, 14:31

Sun

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meine tabelle ist verrutscht...=( ich hoffe, ihr erkennt trotzdem was ich meine

zu x= 4 gehört P(x)= 0,05

26.07.2009, 14:39

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Zitat:

Original von Sun
b) Bestimmen Sie E(Y) und V(Y) für Y= 4X -3

Und hier hänge ich fest: Setze ich da für X einfach die kleinen x ein und lasse die Wahrscheinlichkeiten so stehen??? (Weil ja gilt P(X=x)

Viel, viel einfacher: Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, was z.B.

$\begin{eqnarray*} E(aX+b) = aE(X)+b \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Konstanten $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$

bedeutet. Also auch hier

$\begin{eqnarray*} E(Y) = E(4X-3) = 4E(X)-3 \end{eqnarray*}$ ,

wo du dein Ergebnis $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ aus a) einfach einsetzen kannst. Genauso gilt dann

$\begin{eqnarray*} V(Y) = a^2V(X) \end{eqnarray*}$ ,

was man gemäß

$\begin{eqnarray*} V(Y) = E((Y-E(Y))^2) = E((aX+b-E(aX+b))^2)= E((aX-aE(X))^2) = a^2E((X-E(X))^2) = a^2V(X) \end{eqnarray*}$

unter Einsatz der Linearität des Erwartungswertes beweisen kann.

Zitat:

Original von Sun
c) Das kann ich nur anhand einer Verteilungsfunktion, weil ich die Formel nicht verstehe, aber wenn ich immer zeichnen muss, brauche ich ja ewig?

Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist doch ganz einfach zu zeichnen:

Sie ist stückweise konstant zwischen den Werten $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , die die Zufallsgröße annehmen kann. Und an den Werten $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ selbst springt sie um den Betrag $\begin{eqnarray*} p_i = P(X=x_i) \end{eqnarray*}$ .

27.07.2009, 01:28

Sun

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Ah das sieht aus wie diese Verschiebungsregel hier in meinem Skript

E(a + bX) = a+b E(X)

Wäre ich aber irgendwie nie darauf gekommen, das mit dem Y in Verbindung zu bringen Hammer

Also wenn ich z.B. für E(X) 2 herausbekommen habe, wäre mein Y(X) 4*2-3= 5

Habe ich das so richtig verstanden?

Ja, die Verteilungsfunktion kann ich ja zeichnen..aber kann ich z.B. den Median nicht auch einfach berechnen? Wenn ich jedes Mal zeichnen muss, ist das doch ziemlich aufwendig? Bei klassierten und unklassierten Daten muss ich ja z.B. auch nicht zeichnen, sondern kann das mit Formeln berechnen

Vielen Dank aber schon mal für die Hilfe eben =)

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