1.1 A 4 [Bosch]

26.07.2009, 15:42

tigerbine

1.1 A 4 [Bosch]

Die Aufgabe A4

Hier wäre ich wie im Beispiel (2) auf Seite 14 vorgegangen.

$\begin{eqnarray*} r_a:~G \to G,~g \to ga \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi: G \to S(G),~a \to r_a \end{eqnarray*}$

Für die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gilt (Homomorphismus nachweisen):

$\begin{eqnarray*} \varphi(1) = r_1 = \text{id}(G) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(ab) = r_{ab} = ... \stackrel {!} = \varphi(a) \varphi(b) \end{eqnarray*}$

Da hab ich nun ein Problem. Ich will ja zwei Abbildungen verknüpfen. Nun ist:

$\begin{eqnarray*} r_{ab}:~G \to G,~g \to g(ab) \stackrel{\text{assoz.}}= (ga)b \end{eqnarray*}$

Das wäre aber doch dann $\begin{eqnarray*} r_br_a \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ die innere Abbildung ist. verwirrt

26.07.2009, 15:50

kiste

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Genau das ist das Problem bei der Rechtstranslation. Überlege dir dazu welche Operation die Reihenfolge umdreht und nutze diese geschickt.

26.07.2009, 17:30

tigerbine

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Da fällt mir hier nur die Inversion ein.

$\begin{eqnarray*} \varphi: G \to S(G),~a \to r_{a^{-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{(ab)^{-1}}(g) = g(ab)^{-1} = (gb^{-1})a^{-1} = r_{a^{-1}}(r_{b^{-1}}(g)) \end{eqnarray*}$

Damit ist dann

$\begin{eqnarray*} \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) \end{eqnarray*}$

26.07.2009, 17:38

kiste

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Stimmt. Dass der Kern trivial, die Abbildung also injektiv ist, ist dann analog zum Beispiel.

26.07.2009, 17:39

tigerbine

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Prima. Danke. Freude

18.11.2009, 21:21

heinzelotto

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Zitat:

Original von tigerbine
Prima. Danke. Freude

Das kann ich nur bestätigen! Ich machte auch gerade die Aufgaben und habe mich an der gleichen Stelle das gleiche gefragt. Mit kistes Tip war das ganze aber dann sehr einfach smile

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