Cauchy-Riemann Verständnisproblem

26.07.2009, 21:19	leromarinvit	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Riemann Verständnisproblem Hallo! Ich habe ein kleines Verständnisproblem mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen: Wenn ich in der allgemeinen Form f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) zwecks intuitiver dreidimensionaler Vorstellung v=0 setze und für u z.B. x einsetze, dann habe ich eine 45° geneigte Ebene durch die imaginäre Achse. Die sollte doch wohl in jedem Punkt differenzierbar sein und damit holomorph. Dann sollten aber auch die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gelten, also $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray}$ . v ist aber in unserem Fall 0, daher ist $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray}$ auch 0. $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial x} \end{eqnarray}$ ist aber nicht 0 sondern 1, wie passt das zusammen? Irgendwie steh ich da auf der Leitung. lg, leromarinvit
26.07.2009, 21:38	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beispiel, $\begin{eqnarray} z\mapsto \operatorname{Re}z \end{eqnarray}$ , ist nicht holomorph. Deswegen erfüllt es die CR-DGLn nicht. Cordovan Edit: reell gesprochen hast du die Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto (x,0) \end{eqnarray}$ , und die ist natürlich reell differenzierbar. Deine Abbildung ist aber nicht komplex differenzierbar. Hier sieht man schön den Unterschied.
27.07.2009, 16:17	leromarinvit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke! Dann kann also gar keine (nicht konstante) Funktion mit $\begin{eqnarray} \operatorname{Im} z = 0 \; \forall z \end{eqnarray}$ holomorph sein?
27.07.2009, 16:22	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst Im f(z) = 0, nicht wahr? Dann stimmt die Aussage nämlich.
27.07.2009, 16:25	leromarinvit	Auf diesen Beitrag antworten »
äh, ja natürlich :-)

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