Schnittpunktberechnung 3D Linie - Fläche

26.07.2009, 21:55

pit66

Schnittpunktberechnung 3D Linie - Fläche

Hallo,

ich habe 2 Punkte und eine Fläche im Raum (xyz).
Die Fläche kann aus einer Vielzahl an Stützpunkten bestehen.
Eine über die 2 Punkte gedachte Gerade schneidet die Fläche,
entweder zwischen den 2 Punkten oder hinter einem der Punkte.

Wie berechne ich den Schnittpunkt?
Meine Recherche im Web war nicht so erfolgreich was Formeln angeht.

26.07.2009, 23:14

frank09

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Für die allgem. Geradengleichung durch P1 und P2 gilt ja:
$\begin{eqnarray*} P_1+t(P_2-P_1)=P_1+tP_2-tP_1=P_1(1-t)+tP_2 \end{eqnarray*}$ s. (I)
Wenn du nun den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{N(P_0-P_1)}{N(P_2-P_1)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ einsetzt,
hast du deinen Schnittpunkt. Herleitung ergibt sich durch Einsetzen von (I) in P(t)(II)

27.07.2009, 10:17

pit66

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Danke Frank, ich versuche mal drüber nachzudenken, so richtig verstehe ich es noch nicht.
Kannst Du mir bei der Berechung des Flächenschwerpunktes und der Normalen auch auf die Sprünge helfen?

27.07.2009, 20:52

frank09

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Um den Schwerpunkt zu bestimmen, brauchst du eine abgeschlossene Fäche(z.B. Rechteck) und keine Ebene.(http://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunkt...er_Fl.C3.A4chen)
Leider weiß ich überhaupt nicht, was für eine Ebene/Fläche du vorgegeben hast.
Wenn die Ebene durch drei Punkte $\begin{eqnarray*} Q_1,Q_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q_3 \end{eqnarray*}$ geht, gilt für einen Normalenvektor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot\vec{Q_1Q_2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot\vec{Q_1Q_3}=0 \end{eqnarray*}$
Du kannst ein Gleichungssystem aufstellen oder auch das Vektorprodukt nutzen.

28.07.2009, 22:43

pit66

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Hallo Frank,

den Normalenvektor und den Richtungsvektor habe ich berechnet.
Benötige ich überhaupt den Flächenschwerpunkt oder kann sich der
Normalenvektor auch auf einem Eckpunkt der Fläche befinden?
Die Einzelbestandteile des Ausdrucks für t (N, P0, P1, P2) sind alles Vektoren?!

In meinem Beispiel (grafisch konstruiert) hat die Gerade P1 und P2 (blau) den gleichen Z-Wert, was bei der Berechnung von t für Z eine Division durch Null ergab.

Peter

29.07.2009, 03:26

frank09

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RE: Schnittpunktberechnung 3D Linie - Fläche
$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist eine Skalar(=Zahl), $\begin{eqnarray*} N,P_0,P_1,P_2 \end{eqnarray*}$ sind Vektoren. Der Stützpunkt, den du für das Aufstellen einer Ebenengleichung brauchst, ist ein beliebiger Punkt auf derselben. (Einen"Schwerpunkt" hat eine Ebene sowieso nicht.)
Sei $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ ein Punkt auf der Ebene. Dann nutzt man die Eigenschaft, dass jeder Verbindungsvektor zwischen $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ und einem weiteren Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf der Ebene in derselben liegt und deshalb senkrecht zum Normalenvektor ist. Ebenengleichung:
$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot (\vec{x} -\vec{P_0} )=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{P_0} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{P_0}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also Ebenengleichung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \vec{x}=20 \end{eqnarray*}$
Sei g eine Gerade mit $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Um Schnittpunkt mit Ebene zu bestimmen, setze ich für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ in der E-gleichung die komplette G-gleichung ein:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix})=20 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}=20 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} 18+6t=20\Rightarrow t=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Nun t in G-gleichung einsetzen und man hat den Schnittpunkt.
Seien nun $\begin{eqnarray*} P_1(1|4|3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2(2|5|4) \end{eqnarray*}$ Punkte auf der Geraden, so würde die Formel für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dasselbe ergeben.

31.07.2009, 22:12

pit66

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RE: Schnittpunktberechnung 3D Linie - Fläche
Hallo Frank,

bin jetzt schon ein Stück weiter, aber das Endergebnis stimmt noch nicht.

für die Gerade habe ich jetzt $\begin{eqnarray*} P_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 = \begin{pmatrix} 7,15 \\ 9,15 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1,15 \\ 1,15 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und für die Ebene $\begin{eqnarray*} P_a = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_b = \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_c = \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann Ebene und Gerade gleichsetzen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1,15 \\ 1,15 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ergibt 3 Gleichungen

6 + 1,15t = 2 + 8r + 2s
8 + 1,15t = 10 - 4r + 2s
7 + 0t = 4 + 0r + 4s

für die Gleichung 3 ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} s=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

in Gleichung 1 eingesetzt und nach r aufgelöst
2,5 + 1,15t = 8r

in Gleichung 2 eingesetz und nach r aufgelöst
-3,5 + 1,15t = -4r oder 7 + 2,3t = 8r

für t ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} t=-\frac{4,5}{1,15} \end{eqnarray*}$ oder t=-3,913

An Hand des Beispiels müsste t einen Wert von 1,3 haben.

Wo ist der Fehler?

Peter

01.08.2009, 23:25

frank09

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Zitat:

in Gleichung 2 eingesetz und nach r aufgelöst
-3,5 + 1,15t = -4r oder 7 + 2,3t = 8r

-3,5 + 1,15t = -4r <=> 7 - 2,3t = 8r (minus statt plus).

Wenn du diese Formel ( $\begin{eqnarray*} t=\frac{N(P_0-P_1)}{N(P_2-P_1)}) \end{eqnarray*}$ nutzen willst,
könnte man als Normalenvektor $\begin{eqnarray*} N \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen
Mit $\begin{eqnarray*} P_0=P_a = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ wie oben, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1,15 \\ 1,15 \\ 0 \end{pmatrix}}=\frac{18}{13,8}=1,304 \end{eqnarray*}$

17.08.2009, 14:21

pit66

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Hallo Frank,

erstmal vielen Dank (2 Wochen Urlaub ohne Internet) für die Unterstützung!
Jetzt habe ich den Rechenweg verstanden und werde es programmiertechnisch umsetzen.

Peter

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