3.7 A11 [Bosch]

26.07.2009, 20:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
3.7 A11 [Bosch] Die Aufgabenstellung Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ eine algebraische Körpererweiterung mit der Eigenschaft, dass jedes irreduzible Polynom aus $\begin{eqnarray} K[x] \end{eqnarray}$ mindestens eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ habe. Man zeige dass $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ein algebraischer Abschluss von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}Wir können annehmen dass $L/K$ separable Erweiterung ist. Betrachte dazu $K \subset K_i \subset L$. $K_i/K$ ist rein inseparabel und $L/K_i$ ist separabel. Für Polynome $f \in K_i[x]$ gibt es ein $p^r$ so dass $f^{p^r}\in K[x]$. Da dieses Polynom eine Nullstelle in $L$ besitzt, besitzt auch $f$ eine Nullstelle in $L$. Man kann also $K=K_i$ annehmen da sich die Vorraussetzung überträgt.\\Sei nun $a\in \overline K$, wobei $\overline K$ ein algebraischer Abschluss ist der $L$ enthält. Es ist $\mu_a \in K[x]$. Also besitzt $\mu_a$ eine Nullstelle in $L$. Damit ist $\mu_a$ separabel. Der Zerfällungskörper $Z$ von $\mu_a$ ist also separabel. <br /> \begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}<br /> Er ist außerdem endlich da $[Z:K] \leq (\deg \mu_a)!$. Nach dem Satz vom primitiven Element gibt es also in $b\in Z$ so dass $Z = K(b)$. Sei $\mu_b$ das Minimalpolynom von $b$. Nach Vorraussetzung existiert ein $c\in L$ so dass $\mu_b(c) = 0$. Es ist also $[K(b):K] = [K(c):K]$. Außerdem gilt $K(c) \subset Z = K(b)$ da $Z$ Zerfällungskörper. Damit ist aber bereits $Z = K(b) = K(c)$. Da $c\in L$ ist damit $Z = K(c) \subset L$. Wegen $a\in Z$ ist dann aber $a\in L$.\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
27.07.2009, 01:16	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe da keine 11. Aufgabe.
27.07.2009, 01:32	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumindest in meiner 6. Auflage gibt es eine. Der Link ist nicht von mir, wurde mir wohl reineditiert. Soll ich die Aufgabe dazuschreiben?
27.07.2009, 01:39	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre wohl angebracht, würde ich meinen.
27.07.2009, 01:52	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs mal reineditiert. Die Frage ist bloß ob wir für alle Aufgaben die Aufgabenstellung posten dürfen?

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