Aussagen über das Spektrum einer Abb.

27.07.2009, 23:17	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen über das Spektrum einer Abb. Beim Üben für eine anstehende Klausur bin ich auf eine dreiteilige Aufgabe gestoßen, von der ich mir nicht sicher bin, ob ich sie richtig lösen konnte: Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ Körper und $\begin{eqnarray} \mathcal{V} \end{eqnarray}$ ein endlich dim. Vektorraum Sei $\begin{eqnarray} \sigma \in \mathrm{End}(\mathcal{V}) \end{eqnarray}$ das Spektrum, d.h. die Menge aller Eigenwerte einer Abbildung $\begin{eqnarray} \phi\in \mathrm{End}(\mathcal{V}) \end{eqnarray}$ . Zeigen oder widerlegen Sie: *a) Ist $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ Automorphismus, so ist $\begin{eqnarray} \sigma(\phi^{-1}=\{\lambda^{-1}\|\lambda\in\sigma(\phi)\} \end{eqnarray}$* Mein Beweis: Sei $\begin{eqnarray} \lambda \in \sigma{\phi} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} v\in\mathcal{V} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \phi(v)=\lambda\cdot v \end{eqnarray}$ Nun gilt: $\begin{eqnarray} \phi^{-1}\circ \phi = \mathrm{id}_{\mathcal{V}} \end{eqnarray}$ , also: $\begin{eqnarray} (\phi^{-1}\circ \phi)(v)=\phi^{-1}(\phi(v))=\phi^{-1}(\lambda\cdot v)=v \end{eqnarray}$ Daraus folgt aber sofort, dass $\begin{eqnarray} \lambda^{-1} \end{eqnarray}$ Eigenwert zu $\begin{eqnarray} \phi^{-1} \end{eqnarray}$ sein muss für alle Eigenwerte von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Analog folgt, dass für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda^{-1} \end{eqnarray}$ , Eigenwert von $\begin{eqnarray} \phi^{-1} \end{eqnarray}$ gelten muss: $\begin{eqnarray} \lambda\in \sigma(\phi) \end{eqnarray}$ Damit folgt die Behauptung. *b) Sei $\begin{eqnarray} p\in K[X] \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \sigma(p(\phi))\supseteq p(\sigma(\phi)) \end{eqnarray}$* Also muss ich zeigen: $\begin{eqnarray} p(\lambda)\in \sigma(p(\phi))\quad \forall \, \lambda \in \sigma(\phi) \end{eqnarray}$ Nun habe ich mir gedacht, schaue ich mir doch mal die linke Seite etwas genauer an. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ (Basis beliebig), dann gilt: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ (O.B.d.A der einzige), und damit gibt es einen $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ -invarianten Teilraum und eine Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zu diesem Teilraum, sodass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ teilweise (oder vollständig, hängt vom Rest ab) Diagonalgestalt hat. Es gibt also eine Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} S^{-1}AS=diag(\lambda,\ldots) \end{eqnarray}$ (wobei die Pünktchen auch einen großen Block darstellen können). Ferner gilt: Seien $\begin{eqnarray} a,c\in K, m,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} &&b\cdot A^m+c\cdot A^n<br /> &&=a\cdot S\cdot diag^{m}(...)S^{-1}+c\cdot S\cdot diag^{n}(...)S^{-1}<br /> &&=\ldots<br /> &&= S(diag(a\cdot \lambda^{m}+c\cdot \lambda^{n},\ldots))S^{-1} \end{eqnarray}$ (bei den Pünktchen verwende ich Matrixgesetze wie Skalarmultiplikation und Assoziativgesetz) Damit ist aber $\begin{eqnarray} a\cdot \lambda^{m}+c\cdot \lambda^{n} \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} b\cdot A^m+c\cdot A^n \end{eqnarray}$ . Damit gilt aber, da dies beliebig erweiterbar ist: $\begin{eqnarray} p(\lambda) \end{eqnarray}$ ist Eigenwert zu $\begin{eqnarray} p(\phi) \end{eqnarray}$ für jeden Eigenwert von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . c) hier geht's jetzt um die andere Inklusion. Theoretisch hätte ich gesagt, dass doch dieselbe Argumentation wie in b) funktionieren müsste, aber ich habe das Gefühl, da übersehe ich etwas... Sind die Beweise (bis auf Ausführlichkeit an den Punktstellen) in Ordnung, oder habe ich fundamentale Fehler gemacht? Gruß MI
28.07.2009, 05:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei (a) würde ich eine Eigenwertgleichung für die Inverse sehen wollen. Ich kann dir dort nicht richtig folgen. Deine Bearbeitung von (b) habe ich mir gar nicht erst angeschaut. Viel zu kompliziert. Es geht direkt, und der Beweis ist fast trivial: Sei $\begin{eqnarray} \lambda\in\sigma(\phi). \end{eqnarray}$ Dann gibt es einen nichtverschwindenden Vektor v, so dass $\begin{eqnarray} \phi v = \lambda v. \end{eqnarray}$ Per Induktion folgt $\begin{eqnarray} \phi^n v = \lambda^n v. \end{eqnarray}$ Sei nun p ein Polynom, d.h. $\begin{eqnarray} p(x) = \sum_n\,\alpha_n x^n. \end{eqnarray}$ Es folgt $\begin{eqnarray} p(\phi)v = \sum_n\,\alpha_n \phi^n v = \left(\sum_n\,\alpha_n\lambda^n\right)v = p(\lambda)v. \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} p(\lambda)\in\sigma(p(\phi)). \end{eqnarray}$ Für die Rückrichtung kenne ich nur einen Beweis für den Fall, dass das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Falls das nicht so ist, stimmt die Behauptung auch nicht. Wähle z.B. K = IR und $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie das Polynom p(x) = x² + 1. Dann ist p(A) = 0, also $\begin{eqnarray} \sigma(p(A)) = \{0\}. \end{eqnarray}$ Aber da $\begin{eqnarray} \sigma(A) = \emptyset, \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} p(\sigma(A)) = \emptyset. \end{eqnarray}$
28.07.2009, 09:58	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmh... Bei a) habe ich einfach versucht auszunutzen, dass das Inverse, verknüpft mit der Funktion eben die Identität liefert. Und wenn ich da einen Eigenvektor von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ einsetze - dann muss dieser auch Eigenvektor zur Inversen sein mit dem entsprechenden Kehrwert als Eigenwert, weil ich sonst nicht hinterher wieder den Vektor selbst erhalte. EDIT: Um diesen Schritt noch einmal etwas auszuführen: Sei $\begin{eqnarray} \lambda \in \sigma{(\phi)} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} v\in\mathcal{V} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert. Dann gilt: $\begin{eqnarray} (\phi^{-1}\circ \phi)(v)&&=\mathrm{id}_{\mathcal{V}}(v)<br /> \phi^{-1}(\phi(v))&&=v<br /> \phi^{-1}(\lambda\cdot v)&&=v<br /> \phi^{-1}(v)&&=\lambda^{-1}v \end{eqnarray}$ Bei b) habe ich im Grunde deine Idee gehabt und den Teil "Per Induktion folgt $\begin{eqnarray} \phi^nv=\lambda^nv \end{eqnarray}$ " etwas viel komplizierter hingeschrieben, weil ich unsicher war, ob's so einfach ginge . zur c): Danke für das Gegenbeispiel. Wie gesagt, irgendetwas störte mich da, aber so wirklich klar, war es mir nicht. Ich werde mich dann nochmal genauer damit auseinandersetzen! Ansonsten vielen Dank schon einmal für die Antwort! Gruß MI

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