Operatormethode

28.07.2009, 10:30

akasharishi

Operatormethode

Hallo!

Gesucht ist eine spezielle Lösung der DGL.Kann mir bitte jemand sagen welchen Fehler ich mache? Das Ergebnis scheint nicht mit der Lösung übereinzustimmen:

$\begin{eqnarray*} y''''-2y''+y=3x^3*e^{-x}\qquad y_p=e^{-x}\frac{-1}{2}\frac{1}{1-[\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})^4-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})]}\cdot 3x^3 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} -e^{-x}\frac{1}{2}[1-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})+(\frac{d}{dx})^3+\frac{1}{4}(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{8}(\frac{d}{dx})^3]\cdot 3x^3=(\frac{-3}{2}x^3+9-\frac{18}{16}-\frac{9}{4}x^2-18x-\frac{18}{8}x)e^{-x}=.... \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

Rishi

28.07.2009, 14:07

WebFritzi

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Du machst hier gleich zwei "Fehler":

Erstens sagst du nicht, welche Methode du da verwendest (als ob die hier jedem geläufig wäre...), und zweitens ziehst du deine Zeile viel zu weit in die Länge. Um das zu ändern, editiere bitte deinen Beitrag. Das dürftest du nach über 100 Beiträgen jetzt hoffentlich können.

29.07.2009, 08:53

akasharishi

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Hallo!

Naja, in meinem Buch steht ja bloß groß als Überschrift "Grundzüge der Operatorenmethode" was ich ja auch als Titel des Themas angegeben habe...Was die Länge der Zeile betrifft habe ich das editiert, verstehe aber irgendwie nicht was daran ein ernstes Probem sein soll.. verwirrt

Gruß

Rishi

29.07.2009, 09:37

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Zitat:

Original von akasharishi
Was die Länge der Zeile betrifft habe ich das editiert, verstehe aber irgendwie nicht was daran ein ernstes Probem sein soll.. verwirrt

Genau, Webfritzi, kauf dir einen 26"-Monitor, da passt die Zeile dann geradeso hin. Big Laugh

Zum Thema: Ich kenn die Methode auch nicht, du könntest ja mal erläutern - insbesondere wie du da die Koeffizienten deines Operators

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\frac{d}{dx})^4-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx}) \end{eqnarray*}$

aus denen der DGL ermittelst, dann kommt vielleicht etwas Licht in die Sache.

31.07.2009, 18:52

akasharishi

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Da ich es ja falsch habe, bin ich mir nicht sicher ob ich die Methode auch richtig verstanden habe. Jedenfalls wird zuerst ein Differentialperator $\begin{eqnarray*} p(\frac{d}{dx})=(\frac{d}{dx})^n+(\frac{d}{dx})^{n-1}a_{n-1}...+a_0 \end{eqnarray*}$ gebildet, sodass die DGL die Form $\begin{eqnarray*} (p(\frac{d}{dx}) )y=g(x) \end{eqnarray*}$ annimmt. Um jetzt eine spezielle Lösung zu ermitteln formt man um: $\begin{eqnarray*} y=(p(\frac{d}{dx}) )^{-1}g(x) \end{eqnarray*}$ und definiert $\begin{eqnarray*} r(\frac{d}{dx})=\frac{-(\frac{d}{dx})^n-(\frac{d}{dx})^{n-1}a_{n-1}...-a_1\frac{d}{dx}}{a_0} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} p(x)=a_0(1-r(x)). \end{eqnarray*}$ Dadurch komme ich auf $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{a_0(1-r(x)}g(x). \end{eqnarray*}$ Nun gibt es aber diesen Satz der besagt dass wenn die rechte Seite die Form $\begin{eqnarray*} g(x)e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$ hat gilt: $\begin{eqnarray*} y=(p(\frac{d}{dx}) )^{-1}[g(x)e^{\alpha x}]=e^{\alpha x}(p(\frac{d}{dx}+\alpha) )^{-1}g(x) \end{eqnarray*}$
Rishi

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