Dimension von Vektorräumen

21.09.2006, 09:48

Bjoern1982

Dimension von Vektorräumen

Hallo zusammen

Folgende Aufgabe beschäftigt mich:

Sei $\begin{eqnarray*} V=IM_{2,2}(IR) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_+=\{A \in V | A^t=A\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_-=\{A \in V | A^t= - A\} \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich die Dimension von $\begin{eqnarray*} W_{+}+W_- \end{eqnarray*}$ und dem Schnitt von $\begin{eqnarray*} W_+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_- \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich würde bei beiden jetzt einfach ohne groß darüber nachzudenken einfach dim=2 sagen (wegen 2x2 Matrizen), bloß erstens bin ich mir bei Dimensionsbestimmungen von Matrizen nicht so sicher und zweitens ist das eine Klausuraufgabe einer Uni, was mich doch etwas an einer derart einfachen Betrachtungsweise, wie meiner, zweifeln lässt.

Hätte jemand vielleicht einen Hinweis für mich parat ?

Achja, bei der zweiten Dimensionsbetrachtung, wo es um den Schnitt der beiden Untervektorräume von V geht, habe ich mir überlegt, dass diese beiden UV eigentlich nur die Nullmatrix gemeinsam enthalten - deshalb dim (O)=0 ???

Gruß Björn

21.09.2006, 10:46

Mazze

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Jede Quadratische Matrix lässt sich als Summe einer Schiefsymmetrischen und einer Symmetrischen Matrix schreiben. Dann kannste Dir nun gerne selbst überlegen welche Dimension $\begin{eqnarray*} W_+ + W_- \end{eqnarray*}$ hat Augenzwinkern

(2 ist fallsch für 2x2)

Und ja die einzige symmetrische und zugleich schiefsymmetrische Matrix ist die Nullmatrix.

21.09.2006, 10:51

Bjoern1982

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Danke für deine schnelle Antwort smile

Könntest du mir vielleicht mal erläutern, wie ich bei der Dimensionsbestimmung einer Matrix bzw. eines Vektorraums allgemein vorgehen muss?

Gruß Björn

21.09.2006, 10:55

Mazze

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Zitat:

Könntest du mir vielleicht mal erläutern, wie ich bei der Dimensionsbestimmung einer Matrix bzw. eines Vektorraums allgemein vorgehen muss?

Na die Basisvektoren aufstellen und zeigen das sie eine Basis bilden.

Für $\begin{eqnarray*} W_+ \end{eqnarray*}$ bildet etwa die Menge

$\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

eine Basis. Du könntest jetzt zeigen das sie alle symmetrischen Matrizen der Dimension 2x2 erzeugen oder das bei hinzunahme eines Vektors aus $\begin{eqnarray*} W_+ \end{eqnarray*}$ die Menge linear abhängig wird.

21.09.2006, 11:16

Bjoern1982

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Ah ,ich glaube jetzt sehe ich klarer...hoffe ich

Matrizen von $\begin{eqnarray*} W_- \end{eqnarray*}$ haben ja diese Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Würde eine Basis dann nicht so aussehen :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit könnte man dann doch alle schiefsymmetrischen Matrizen erzeugen, oder?

Also wäre dann $\begin{eqnarray*} dim (W_+)=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(W_-)=1 \end{eqnarray*}$

Und da der Schnitt aus $\begin{eqnarray*} W_+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_- \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ist, also die Dimension davon gleich null ist, folgt doch dann:

$\begin{eqnarray*} dim(W_{+}+W_-)=dim(W_+)+dim(W_-)-0=3+1=4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

Gruß Björn

21.09.2006, 11:26

JochenX

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Matrizen von $\begin{eqnarray*} W_- \end{eqnarray*}$ haben ja diese Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist der Weg, den ich immer gehen würde bei Matrizengeschichten dieser Art, denn hier kannst du die Dimension (und auch eine Basis) schnell ablesen.

Zitat:

Also wäre dann $\begin{eqnarray*} dim (W_+)=3 \end{eqnarray*}$

steht mir so noch etwas unbewiesen da!?
Gehe wieder über die Form einer allgemeinen symmetrischen Matrix (mit a,b,c...)

Deine berechneten Dimensionen sind alle korrekt; als Übung machste das ganze jetzt für 3x3-Matrizen.

21.09.2006, 12:22

Bjoern1982

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Zitat:

Zitat:
Also wäre dann $\begin{eqnarray*} dim (W_+)=3 \end{eqnarray*}$

steht mir so noch etwas unbewiesen da!?

Ich hab mich ja da schon an Mazzes Lösung orientiert die aus drei linear unabhängigen Basisvektoren (sagt man nicht eher Basismatrizen?) besteht Augenzwinkern

Da symmetrsiche Matrizen diese Form haben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sehe ich auch leicht, dass Mazzes Basis stimmen muss.

Oder hatte ich dich falsch verstanden, LOED ?

Zitat:

als Übung machste das ganze jetzt für 3x3-Matrizen.

Yes, sir

Werde meine Ergebnisse später nochmal posten.

Danke für eure Hilfe Wink

21.09.2006, 12:45

JochenX

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Da symmetrsiche Matrizen diese Form haben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sehe ich auch leicht, dass Mazzes Basis stimmen muss.

das wollte ich noch gesehen haben Wink

Hier nämlich eigentlich wieder: erst mal die allgemeine Form aufschreiben, daraus lässt sich die Basis dann schnell finden.....

21.09.2006, 23:48

Bjoern1982

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So, hier mal mein Ergebnis für die 3x3 Matrizen:

Eine symmetrische 3x3 Matrix hat diese Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & e & f \\ c & f & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Basis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} dim(W_+)=6 \end{eqnarray*}$

Eine schiefsymmetrische 3x3 Matrix hat diese Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & d & g \\ -d & 0 & h \\ -g & -h & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Basis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} dim(W_-)=3 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} dim(W_{+}+W_-)=3+6-0=9 \end{eqnarray*}$

Puh, das war ne Arbeit - denke aber, dass ich jetzt verstanden habe.

Gruß Björn

21.09.2006, 23:57

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Puh, das war ne Arbeit - denke aber, dass ich jetzt verstanden habe.

Denk ich auch Augenzwinkern

22.09.2006, 00:03

Bjoern1982

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Schön zu hören smile

Also wieder was dazu gelernt.
Irgendwie hab ich mich anfangs dagegen gewährt, BasisMATRIZEN zu wählen.

Aber nun ist es klar.

Danke für die Antwort.

Gruß Björn

22.09.2006, 10:31

JochenX

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Zitat:

Original von Bjoern1982
BasisMATRIZEN

Die Matrizen sind eben VEKTOREN im Vektorraum der (nxm)-Matrizen; das sind Vektoren, sieh es ein smile

.

In der Basisdartellung sind es übrigens SPALTENvektoren (irrtümlich setzt man die gerne gleich mit dem Wort Vektoren) mit m*n Komponenten

22.09.2006, 10:40

Bjoern1982

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Alles klar, danke.

Gruß Björn

22.09.2006, 15:44

pflaume

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Hallo zusammen,

Kennt ihr noch weitere Beispiele wie obige zur Dimensionsbestimmung eines Vektorraums.

Da ich bald Klausur schreibe, wäre das eine gute Übung für mich.

MfG,
pflaume

22.09.2006, 15:46

JochenX

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verwende doch mal die Boardsuche nach "Vektorraum" oder "Dimension".
Da wirst du sicher fündig.

Kannst auch mal in die Klausurenecke schauen.

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