Normalformen und Singulärwertzerlegung

28.07.2009, 10:19

Komand

Normalformen und Singulärwertzerlegung

Hi,

bin zurück Augenzwinkern

. Nächste Woche beginnen meine Prüfungen und eine davon ist Lineare Algebra I. Sieht ganz gut aus, aber ein paar kleine Probleme habe ich noch:

Normalformen: Gesucht ist die reelle Normalform von $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die EW sind 1 und -1 mit den EV $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt schreibe ich die EW in die Diagonale --> Diagonalmatrix: $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Für eine SUD brauche ich nun noch eine Transformationsmatrix. Spontan hätte ich einfach $\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genommen, aber in meinem Buch nimmt der Autor $\begin{eqnarray*} T=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Meine Fragen: 1. Da A reell symmetrisch ist, sind die EV ja orthogonal. Normiert man diese wie der Autor noch, ergeben sie eine orthonormale Basis, sprich eine orthogonale Matrix, korrekt?
2. Viele Algorithmen, z.B. jener der SUD, vereinfachen sich durch orthogonale T stark. Wenn nun aber A mal nicht reell symmetrisch sein sollte (sagen wir A zwar reell, aber nicht symmetrisch), die Spaltenvektoren von T (=EV von A) also nicht perse paarweise orthogonal sind, muss man zuerst das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden, ehe man mit der SUD weitermacht, richtig?

Vielen Dank!

Komand

Ps: zur Erinnerung: ich bin Maschinenbauer, also bitte am Boden bleiben mit Erklärungen. Augenzwinkern

28.07.2009, 12:20

off

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Mir scheint, Du verwechselst hier ein wenig die Singulärwertzerlegung mit der Normalform unter Ähnlichkeit (Diagonalform, bzw. Jordannormalform).

Singulärwertzerlegung :

$\begin{eqnarray*} A = U \Sigma V^T \end{eqnarray*}$

für orthogonale U und V.

Diagonalform (für Diagonalisierbare Matrizen) :

$\begin{eqnarray*} A = TDT^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Ist A symmetrisch, so können Singulärwertzerlegung und Diagonalform die selben Zerlegungen liefern. Bei Deiner Beispielmatrix ist es so. Zudem kann ich mit der Abkürzung SUD nicht viel anfangen. Singulärwertzerlegung wird meist SVD abgekürzt, daher wollte ich noch nachfragen ob Du wirklich mit SUD die Singulärwertzerlegung meinst. Ansonsten sei Dir gesagt :

Bei der Diagonalisierung besteht die Matrix T aus den EV von A. Bei der Singulärwertzerlegung besteht die Matrix V aus den EVen von $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ , d.h V kann immer orthogonal gewählt werden.

Zitat:

Da A reell symmetrisch ist, sind die EV ja orthogonal. Normiert man diese wie der Autor noch, ergeben sie eine orthonormale Basis, sprich eine orthogonale Matrix, korrekt?

Das stimmt soweit.

28.07.2009, 13:16

Komand

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Hi,

Zitat:

Zudem kann ich mit der Abkürzung SUD nicht viel anfangen. Singulärwertzerlegung wird meist SVD abgekürzt, daher wollte ich noch nachfragen ob Du wirklich mit SUD die Singulärwertzerlegung meinst.

klar, hab SVD gemeint.

Zitat:

Mir scheint, Du verwechselst hier ein wenig die Singulärwertzerlegung mit der Normalform unter Ähnlichkeit (Diagonalform, bzw. Jordannormalform).

Kann durchaus sein, ja. Augenzwinkern

Mittlerweile hab ich's glaub ich aber gecheckt.

Komand

28.07.2009, 16:58

Komand

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jetzt ist mir doch noch einmal eine Frage zu einer Normalform, bzw. der zugehörigen Transformationsmatrix gekommen. Und zwar zu folgendem Beispiel: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die EW sind $\begin{eqnarray*} i,~ -i \end{eqnarray*}$ ; die EV sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\-i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die reelle Normalform lautet ja dann: $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das vestehe ich noch, da für komplexe EW $\begin{eqnarray*} a\pm bi \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a& b \\ -b & a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich nun auf die Transformationsmatrix T? Laut Lösung sollte sie $\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} 1&0 \\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein. Wie kommt man darauf? Wie lautet hier die Transkription für komplexe EW?

Danke!

Komand

28.07.2009, 19:48

Komand

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Hi,

deine Matrizen sind in meinem Buch als komplexe Normalformen geführt; ich suche aber nur die reellen, da nur nach diesen in meiner Prüfung gefragt wird.
Ich habe jetzt einen Weg gefunden wie ich mir T hindoktern kann, aber so eine schöne Transkriptionsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a& b \\ -b & a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ wie bei D, habe ich nicht gefunden.

Komand

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