Verständnisproblem Eigenbasis |
| 28.07.2009, 12:55 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Verständnisproblem Eigenbasis ich schieb gleich mal noch einen Thread hinterher 
Für eine Basis in V muss ja gelten: Anzahl Spaltenvektoren der Basis=Dimension V=Rang Basis. Anders gesagt: Die Spaltenvektoren müssen linear unabhängig und erzeugend sein. Folglich sind linear unabhängige Vektoren nicht zwangsläufig erzeugend, bilden also nicht perse eine Basis. In einer Musterlösung einer meiner Lin-Alg-Serien steht nun:
In der gleichen Serie heisst es zu einem anderen Beispiel über die EW 1 und 6, "die EW sind verschieden, also existiert eine Eigenbasis". Meine Fragen: 1. Liefern EV zu unterschiedlichen EW perse ein eindeutig lösbares LSG, das nicht extra noch mit Gauss auf seinen Rang überprüft werden muss? Herkömmliche lin. unabh. Vektoren, die unter "Verdacht" stehen, eine Basis zu bilden, würde man ja erst noch in einem LSG zusammenfassen und dieses dann auf seinen Rang hin untersuchen. 2. Ein hinreichendes Kriterium für die Existenz einer Eigenbasis ist doch meines Wissens, dass die algebraische Vielfachheit (VFH) aller EW gleich der geometrischen VFH ihrer Eigenräume sein muss. Wie passt das mit Frage 1 zusammen? Grüße, Komand |
||||||
| 28.07.2009, 13:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Verständnisproblem Eigenbasis
Im Prinzip ja. Es wird aber anders bewiesen.
Ich verstehe die Frage nicht bzw. wo ist das Problem? |
||||||
| 28.07.2009, 13:33 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi,
ok gut. Weißt du auch warum das so ist? (rein aus Interesse)
Anders gefragt: Wenn sich z.B. die Frage nach der Diagonalisierbarkeit einer Matrix A stellt (was ja äquivalent ist zu "besitzt A eine Eigenbasis?"), brauche ich bei unterschiedlichen EW gar nicht mehr nach den alg. und geom. VFH schauen, sondern kann bereits aus der Unterschiedlichkeit der EW die Diagonalisierbarkeit ableiten? Grüße, Komand |
||||||
| 28.07.2009, 14:23 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Dimension des Raumes n ist und du n paarweise verschiedene Eigenwerte hast, dann ist das so, ja. |
||||||
| 28.07.2009, 14:25 | off | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das kannst Du. Da würdest Du sogar selber drauf kommen wenn Du kurz nachdenkst. Wenn A eine N x N Matrix ist mit N paarweise verschiedenen Eigenwerten. Dann wissen wir : Jeder Eigenwert hat die algebraische Vielfachheit 1. Jeder Eigenwert hat die geometrische Vielfachheit mindestens 1. Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit. => Die geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte ist 1. => Jeder Eigenwert hat die gleiche algebraische und geometrische Vielfachheit. => A ist Diagonalisierbar. |
||||||
| 28.07.2009, 15:17 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
leuchtet ein, Dankeschön! Komand |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 29.07.2009, 08:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Den Beweis findest du in jedem Algebrabuch, das das Thema behandelt. |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
