Zentraler Grenzwertsatz

28.07.2009, 13:54

vektorraum

Zentraler Grenzwertsatz

Hallo

Wir haben folgende Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A bei einem Versuch sei 0,3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man behaupten, dass die relative Häufigkeit dieses Ereignisses bei 100 Versuchen zwischen 0,2 und 0,3 liegt?

Dazu haben wir folgende Bemerkung formuliert: Ist A eine B(n,p)-verteilte Zufallsgröße, so kann für großes n die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \end{eqnarray*}$

näherungsweise als N(0,1)-verteilt angesehen werden. Deshalb gilt für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R,~a<b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(a\leq x\leq b)=P\left(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq \frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \end{eqnarray*}$

Also habe ich zunächst den Erwartungswert zu $\begin{eqnarray*} EX=np=30 \end{eqnarray*}$ und die Varianz zu $\begin{eqnarray*} Var X=21 \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Nun wollte ich die Informationen direkt einsetzen, komme aber auf andere Ergebnisse als mein Prof...

Kann es sein, dass das an den 100 liegt, d.h. wir eine konkrete Information haben??? In der Bemerkung wird ja über "großes n" gesprochen, d.h. muss das hier berücksichtigt werden?

Danke für eure Antworten Freude

28.07.2009, 15:21

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz
Was hast du denn für a und b in die Formel eingesetzt?

28.07.2009, 15:28

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RE: Zentraler Grenzwertsatz
Für a=0,2 und für b=0,3.

28.07.2009, 15:36

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz
Das ist natürlich falsch, denn da müssen die zu den relativen Häufigkeiten 0,2 bzw. 0,3 gehörigen Fallzahlen auf der Basis n = 100 eingesetzt werden, also a = 20 und b =30. Außerdem sollte man beim Übergang von der diskreten Binomialverteilung zur stetigen Normalverteilung die sogenannte Stetigkeitskorrektur berücksichtigen. Das führt zu a = 19,5 und b =30,5.

29.07.2009, 10:33

vektorraum

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RE: Zentraler Grenzwertsatz

Zitat:

Original von Huggy
Das ist natürlich falsch, denn da müssen die zu den relativen Häufigkeiten 0,2 bzw. 0,3 gehörigen Fallzahlen auf der Basis n = 100 eingesetzt werden, also a = 20 und b =30. Außerdem sollte man beim Übergang von der diskreten Binomialverteilung zur stetigen Normalverteilung die sogenannte Stetigkeitskorrektur berücksichtigen. Das führt zu a = 19,5 und b =30,5.

Alles kar, danke Hammer

Du hast natürlich recht, das hatte ich nicht beachtet. Nun stimmt`s...

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