Bedingte Wahrscheinlichkeit

28.07.2009, 15:12

vektorraum

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Hallo

Folgende Aufgabe:

Die Restlebenszeit X einer Person sei eine Zufallsgröße. Es sei bekannt, dass

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x)=1-\left(\frac{x}{100}\right)^5,~0<x<100 \end{eqnarray*}$ .

Wir sollen nun u.a. die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die ZG X Werte kleiner als 70 annimmt, unter der Bedingung, dass ihre Werte größer als 50 sind.

Wir haben hier also eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Da würde ich also den Ansatz wählen:

$\begin{eqnarray*} P(X<70 |X>50)=\frac{P((X<70)\cap(X>50))}{P(X>50)} \end{eqnarray*}$

Der Nenner ist einfach zu bestimmen. Könnte man den Ausdruck im Zähler nicht auch wieder als bedingte Wahrscheinlichkeit schreiben, d.h.

$\begin{eqnarray*} P((X<70)\cap(X>50))=P(X>50|X<70)\cdot P(X<70) \end{eqnarray*}$ .

Wie komme ich nun aber die Wahrscheinlichkeiten? Ich sehe das gerade nicht...

28.07.2009, 15:29

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Weshalb willst du den Zähler umschreiben? Da steht doch einfach die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 50 und 70 liegt und die kannst du direkt ausrechnen.

29.07.2009, 10:33

vektorraum

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Huggy
Weshalb willst du den Zähler umschreiben? Da steht doch einfach die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 50 und 70 liegt und die kannst du direkt ausrechnen.

Kann man das?

29.07.2009, 11:15

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Es ist

$\begin{eqnarray*} P(50\leq X \leq 70)=P(X \geq 50)-P(X \geq 70) \end{eqnarray*}$

29.07.2009, 16:34

vektorraum

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Oh je Finger1

Also legen wir mal los:

$\begin{eqnarray*} P(X<70|X>50)=\frac{P(X\geq 50)-P(X\geq 70)}{P(X>50)}=\frac{(\frac{70}{100})^5-(\frac{50}{100})^5}{1-(\frac{50}{100})^5}=0,1412 \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt? Mein Prof. hat nämlich was ganz anderes raus, scheint aber sowieso einige Fehler gemacht zu haben...

Danke, Huggy!

29.07.2009, 19:32

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Meiner Meinung nach ist dein Ergebnis korrekt.

02.08.2009, 13:21

vektorraum

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Danke Huggy, für deine Antworten.

Zu dieser Aufgabe habe ich noch eine andere Frage:

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=\max(X,20) \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine Unstetigkeitsstelle besitzt.

Wie soll man da am besten rangehen?

Erstmal notieren:

$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(Y\leq y)=\ldots \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung vielleicht???

02.08.2009, 14:55

Huggy

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Fallunterscheidung y < 20 und y >= 20 liegt auf der Hand. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten und damit die Verteilungsfunktion sind auch offensichtlich. Y kann ja nicht kleiner als 20 sein, also

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq y) = 0 \end{eqnarray*}$ für y < 20

Und wenn y >= 20, dann ist Y <= y logisch äquivalent zu X <= y, also

$\begin{eqnarray*} P(Y \leq y) = P(X \leq y) \end{eqnarray*}$ für y >= 20

Die Verteilungsfunktion macht bei y = 20 einen Sprung, ist also unstetig.

02.08.2009, 17:55

vektorraum

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ich danke dir für die Erklärung!

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