Stetige Funktion, Teilmenge

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ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion, Teilmenge
Hallo,

Sei eine Teilmenge von . Die Funktion sei definiert durch

fuer alle .

Man zeige, dass stetig ist.

Ich habe folgendes gemacht:
Seien und und weiter sei beliebig.
Es gilt :

1)

oder

2)

Stetigkeit :
Seien und zwei Folgen mit

und

Dann gilt



und



Und daraus folgt, dass stetig ist.
Oder verstehe ich doch nicht?
Danke!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Funktion, Teilmenge
Zitat:
Original von ge88
2)


Das ist leider falsch. Was ist z.B. bei

EDIT: Habe gerade gesehen, dass es doch richtig ist. Aber du deckst damit halt nicht alle Fälle ab.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Seien und sei eine Folge mit Wir müssen



zeigen. Sei dazu gegeben. Es gibt dann ein N, so dass



Es sei

1. Fall (): Es existiert so dass Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt




2. Fall (): Deine Aufgabe.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir vielmals! Ich melde mich sobald ich den 2.Fall hingekriegt habe.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
2. Fall ():


Es gilt
und es existiert mit

Dann folgt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider nicht richtig. Beachte: |x| < a ==> -|x| > -a.
 
 
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuche ich es nochmal..

Mit gilt




Ich habe eine Frage noch :
Es ist fuer ein .
Koennte man folgendes betrachten?



Das geht vielleicht nicht, aber ich verstehe nicht warum.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du schätzt da irgendwie in eine falsche Richtung ab...

Sei .

[Betrag aufgelöst]

Nun soll das die Rolle des aus dem Beitrag von WebFritzi übernehmen.



Zu deiner zweiten Frage:
Das kann man nicht so machen, da deine Funktion das Infimum einer Menge enthält und dieses muss nicht unbedingt zur Menge dazugehören.
Nehmen wir zum Beispiel und . Intuitiv würde man sagen, dass der Abstand von zu 1 ist, aber tatsächlich ist er immer >1, denn für jedes gilt .
Aber es ist wohl
[Beachte: das Infimum ist die grösste untere Schranke]
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Du schätzt da irgendwie in eine falsche Richtung ab...

Sei .

[Betrag aufgelöst]

Nun soll das die Rolle des aus dem Beitrag von WebFritzi übernehmen.


Welche Richtung ist die richtige? Und habe ich das nicht schon damit

Zitat:
Original von ge88
Es gilt
[...]


probiert? Warum war der Versuch so ungluecklich?

Zitat:
Original von system-agent
Zu deiner zweiten Frage:
Das kann man nicht so machen, da deine Funktion das Infimum einer Menge enthält und dieses muss nicht unbedingt zur Menge dazugehören.
Nehmen wir zum Beispiel und . Intuitiv würde man sagen, dass der Abstand von zu 1 ist, aber tatsächlich ist er immer >1, denn für jedes gilt .
Aber es ist wohl
[Beachte: das Infimum ist die grösste untere Schranke]


Einverstanden.
Danke fuer die Erklaerung.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ge88
Welche Richtung ist die richtige? Und habe ich das nicht schon damit


Du musst zeigen.
In deinem Beitrag hatte ich den Eindruck als schreibst du da ein bischen über Kreuz auf, das hat mich verwirrt.
Jetzt glaub ich dass es doch OK war...
Schreib einfach ein bischen mehr dazu smile

Also nochmals:

da nach Annahme.

Es gibt analog zum ersten Fall ein so, dass

[meiner Meinung nach sollte man das noch kurz begründen]
also


Ausserdem ist sicher [da man bei das Infimum aller Abstände nimmt]

Insgesamt hat man also

Mit der Dreiecksungleichung folgt die Behauptung.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Du musst zeigen.


Ja. Beim zweiten Mal wollte ich zeigen.

Es freut mich, wenn du sagst, dass mein erster Versuch OK war, aber dann verstehe ich folgendes nicht

Zitat:
Original von WebFritzi
Das ist leider nicht richtig. Beachte: |x| < a ==> -|x| > -a.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ge88
Dann versuche ich es nochmal..

Mit gilt




Ich meinte dass dieser OK war.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was ich zitiert habe, war aber nicht Teil davon verwirrt
Naja, egal. Hauptsache eins von beiden ist richtig. Danke!
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