Zweite Ableitung einer Funktion R^m->R^n

28.07.2009, 16:16

dvp

Zweite Ableitung einer Funktion R^m->R^n

Ich bin gerade dabei, mich etwas auf die Prüfung vorzubereiten, und als Übersicht haben wir eine Liste mit Stichworten zu Themenkomplexen bekommen.

Nun ist ein Stichwort "Zweite Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^m \supset G \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ".

Ich bin etwas ratlos, was ich in der Prüfung zu diesem Stichwort sagen sollte. Die zweiten partiellen Ableitungen folgen ja praktisch direkt aus der Definition der ersten. Der Satz von Schwarz wäre ja nur für n=1 anwendbar, ebenso die Hesse-Matrix. Ansonsten vielleicht noch, dass f (zweimal) differentierbar ist, wenn alle Komponentenfunktionen (stetig) differentierbar sind?

Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen? Danke.

01.08.2009, 13:35

Abakus

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RE: Zweite Ableitung einer Funktion R^m->R^n
Die erste Frage ist, wie du die zweite Ableitung einer solchen Funktion überhaupt aufschreiben würdest: was bekommst du?

Grüße Abakus smile

11.08.2009, 11:59

dvp

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Die ersten partiellen Ableitungen ergeben sich doch über die Existenz des folgenden Grenzwerts:

$\begin{eqnarray*} \partial_i f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_m) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_i+h, \ldots, x_m) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_m)}{h} \end{eqnarray*}$

Wenn die ersten partiellen Ableitungen nach x_i existiert, ergibt sich doch die zweiten nach x_j analog, oder?

$\begin{eqnarray*} \partial_j\partial_i f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_m) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\partial_i f(x_1, \ldots, x_j+h, \ldots, x_m) - \partial_i f(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_m)}{h} \end{eqnarray*}$

Wenn das korrekt ist: was kann man noch dazu sagen? - Etwas wie die totale Ableitung, oder Satz von Schwarz ist ja für n>1 nicht sinnvoll, oder?

Danke für die Hilfe. smile

11.08.2009, 12:58

Sicher?

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Wo liegt den das Problem den Satz von Schwarz bzw. die Hessematrix für Funktionen mit Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ zu benutzen?

11.08.2009, 18:53

dvp

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Naja, man könnte sie wohl sinngemäß auf die Komponentenfunktionen statt der Gesamtfunktion übertragen. Aber ist das "üblich" bzw. wird das angewendet?

11.08.2009, 23:08

Abakus

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RE: Zweite Ableitung einer Funktion R^m->R^n

Zitat:

Original von dvp
Nun ist ein Stichwort "Zweite Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^m \supset G \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ".

Ich bin hier daran gewöhnt, dass m und n andersrum stehen; aber ok.

Du hast mehrere Möglichkeiten, auf diese Frage einzugehen:

Einmal kannst du iterierte partielle Ableitungen betrachten; also Funktionen des Typs $\begin{eqnarray*} f_{x_k} : G \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und wiederum deren partielle Ableitungen; hier kannst du den Satz v. Schwarz erwähnen, doch dieser gilt natürlich nur unter bestimmten Voraussetzungen (sicher kannst du auf Nachfrage die Voraussetzungen und ein Beispiel erklären, wo der Satz nicht gilt... Augenzwinkern

).

Andererseits kannst du nach einer geeigneten linearen Abbildung suchen, die dann die Ableitung sein soll. So ist ja $\begin{eqnarray*} f' : G \to Hom(G,~\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ und damit diese Idee weiter verfolgt, etwa die Approximierung von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ durch: $\begin{eqnarray*} f'' \in Hom(G \to Hom(G,~\mathbb{R}^n)) \end{eqnarray*}$ . D.h. die erste Ableitung (die ja eine lineare Abb. liefert) wird letztendlich durch geeignete lineare Abbildungen approximiert.

Wenn du hier die Definition der Differenzierbarkeit hinschreibst, achte auf die Normen: für lineare Abbildungen brauchst du natürlich eine geeignete Norm, etwa die Sup.-Norm. Ferner müsstest du zumindest eine Idee haben, wieso dieses Ableitungskonzept zu demselben Ergebnis führt wie das Erstgenannte.

Insgesamt lauern hier also einige Fettnäpfchen zum Reinfallen.

Grüße Abakus smile

11.08.2009, 23:33

WebFritzi

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@Abakus: Deine Formeln sind nicht ganz ok. Sei G eine offene Menge im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m. \end{eqnarray*}$ Dann ist

$\begin{eqnarray*} f : G\to\mathbb R^n, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f' : G\to{\rm Hom}(\mathbb R^m,\mathbb R^n), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' : G\to {\rm Hom}(\mathbb R^m,{\rm Hom}(\mathbb R^m,\mathbb R^n)). \end{eqnarray*}$

11.08.2009, 23:43

Abakus

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Zitat:

Original von WebFritzi
@Abakus: Deine Formeln sind nicht ganz ok. Sei G eine offene Menge im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m. \end{eqnarray*}$ Dann ist

$\begin{eqnarray*} f : G\to\mathbb R^n, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f' : G\to{\rm Hom}(\mathbb R^m,\mathbb R^n), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' : G\to {\rm Hom}(\mathbb R^m,{\rm Hom}(\mathbb R^m,\mathbb R^n)). \end{eqnarray*}$

OK, das hab ich fast befürchtet und bei f'' eigentlich nur eine (feste) lin. Approximation von f' gemeint. Aber gut: so ist es besser und korrekter dann Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

15.08.2009, 13:40

dvp

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Danke. Ich denke damit kann ich etwas anfangen. smile

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