Nilpotente Matrix und Eigenwerte

28.07.2009, 19:51

Markus1987

Nilpotente Matrix und Eigenwerte

Ich möchte beweisen, dass eine nilpotente Matrix nur Null als Eigenwert hat. Im Übungsbuch zu Fischers lineare Algebra steht der Beweis zwar drinnen, aber anders als das was ich mir selbst überlegt habe. Sagt ihr mir bitte, ob mein Beweis auch okay ist, oder ob das falsch ist?

Behauptung: Nilpotente Matrizen haben nur Null als EW

Beweis:

Ist eine Matrix A nilpotent, so existiert ein m aus den natürlichen Zahlen, so dass $\begin{eqnarray*} A^m \end{eqnarray*}$ gleich Null ist.

EW sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

$\begin{eqnarray*} det(A^m - x \cdot id) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^m = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen (Bedingung für nilpotent)

$\begin{eqnarray*} det(0-x \cdot id) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(-x \cdot id) = 0 \end{eqnarray*}$

Da eine Determinante nur Null sein kann, wenn linear abhängige Spaltenvektoren in ihr stehen, weil sie alternierend ist, so kann das hier nie erfüllt sein, weil die Spalten der Einheitsmatrix id immer linear unabhängig ist. (Die Spaltenvektoren sind ja gerade die kanonische Basis)

Also muss x, der EW, Null sein damit die Gleichung erfüllt ist.

Ergo: Null ist einzigster EW. q.e.d.

28.07.2009, 20:01

Komand

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Zitat:

Null ist einzigster EW. q.e.d.

Mathe top, Deutsch flop Augenzwinkern

28.07.2009, 20:25

Leopold

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RE: Nilpotente Matrix und Eigenwerte

Zitat:

Original von Markus1987
$\begin{eqnarray*} A^m = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen (Bedingung für nilpotent)

Damit bestimmst du die Eigenwerte der Nullmatrix. Du sollst aber diejenigen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmen.

28.07.2009, 23:59

jester.

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Ich denke der Beweis lässt sich einfacher über das Minimalpolynom als über das charakteristische führen.

29.07.2009, 00:07

Mazze

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Ich würds über einen Widerspruch machen. Das ist dann ein Zweizeiler.

29.07.2009, 00:07

tigerbine

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Man weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} A^m \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ist. Diese hat nur den EW 0. Was nun, wenn das nicht für A gilt. Also es einen EV ungleich 0 gäbe.... was folgt denn dann für die Eigenwerte von A² etc. ...

edit: Augenzwinkern

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