Ableitung einer unbekannten Funktion

29.07.2009, 06:38

captmorgan

Ableitung einer unbekannten Funktion

Hi liebe Forumsleser,

ich wende mich mit einer eigentlich relativ einfachen Frage an Euch, die mir auch zuvor nie Probleme bereitet hat. Doch plötzlich habe ich dies hinterfragt. Angenommen man habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} u(x_1, x_2(x_1)) \end{eqnarray*}$ , welche 2 Variablen umfasst. Nun stellt $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ die Entscheidungsvariable dar. Beide Variablen sind von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ "abhängig". Bei der Optimierung wird ja üblicherweise folgende Ableitung gleich null gesetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{\delta u}{\delta x_1} + \frac{\delta u}{\delta x_2} \frac{\delta x_2}{\delta x_1} = 0 \end{eqnarray*}$ . Locker gesagt die Änderung direkt über $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ PLUS die Änderung die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auslöst ergibt die "gesamte" Änderung der Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Die Frage, die sich mir nun plötzlich aufwarf: die Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist ja nicht konkret bestimmt, sondern lediglich abstrakt dargestellt; hier wird dann beim ableiten implizit von einer additiven Verknüpfung ausgegangen; müssen denn die Variablen bei der Darstellung $\begin{eqnarray*} u(x_1, x_2(x_1)) \end{eqnarray*}$ in jedem Fall additiv verknüpft sein, so dass eine multiplikative Verknüpfung in jedem Fall bspw. durch $\begin{eqnarray*} u(\frac{x_2(x_1)}{x_1}) \end{eqnarray*}$ oder auch z.B. $\begin{eqnarray*} u(x_1 x_2(x_1)) \end{eqnarray*}$ (auf jeden Fall ohne Trennung durch Komma) dargestellt werden muss? Ich habe mich dies wie gesagt vorher nie gefragt, sondern habe einfach so verfahren. Nun kam mir aus irgend einem Grund plötzlich die Frage in den Kopf und ich werde sie nicht mehr los. Ich hoffe, es kann hier jemand helfen. Vielen Dank.

29.07.2009, 08:48

klarsoweit

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RE: Ableitung einer unbekannten Funktion
Das Stichwort lautet "Kettenregel". Betrachten wir die Funktion u als Abbildung von R² nach R mit $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2) \rightarrow u(x_1, x_2) \end{eqnarray*}$ und setzen wir $\begin{eqnarray*} v(x_1) = (x_1, x_2(x_1)) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} u(v(x_1)) = u(x_1, x_2(x_1)) \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta u}{\delta x_1} = (\frac{\delta u}{\delta x_1}, \frac{\delta u}{\delta x_2}) \cdot \frac{\delta v}{\delta x_1} = (\frac{\delta u}{\delta x_1}, \frac{\delta u}{\delta x_2}) \cdot (1, \frac{\delta x_2}{\delta x_1}) = \frac{\delta u}{\delta x_1} + \frac{\delta u}{\delta x_2} \frac{\delta x_2}{\delta x_1} \end{eqnarray*}$

29.07.2009, 09:56

captmorgan

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Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Die Bedeutung der Kettenregel in dem Fall ist mir ja bewusst. Ich habe die ja auch zum ableiten verwendet. Jedoch stellt sich mir die Frage, woher man weiß, dass die von Dir benannte Funktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ eine additive Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ repräsentiert und keine multiplikative Verknüpfung, welche natürlich die Ableitung ändern würde. Steht das Komma zwischen den beiden Argumenten also für eine additive Verknüpfung?

29.07.2009, 10:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von captmorgan
Die Bedeutung der Kettenregel in dem Fall ist mir ja bewusst. Ich habe die ja auch zum ableiten verwendet.

Anscheinend aber nur zufälligerweise richtig, sonst würdest du nicht fragen.

Zitat:

Original von captmorgan
Jedoch stellt sich mir die Frage, woher man weiß, dass die von Dir benannte Funktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ eine additive Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ repräsentiert und keine multiplikative Verknüpfung, welche natürlich die Ableitung ändern würde.

Die Funktion v repräsentiert keine additive Verknüpfung, sondern gibt nur wieder, daß die 2. Komponente eine Funktion von x_1 ist. Die "additive Verknüpfung" entsteht durch das Skalarprodukt der jeweiligen Ableitungen.

29.07.2009, 10:33

captmorgan

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Na, so zufällig war es eigentlich nicht ;-). Ich hab es halt bisher gemacht ohne es zu hinterfragen, weil ich wusste, dass es so gemacht wird.

Nun hab ich es aber verstanden, als Du das Skalarprodukt erwähntest. Kann ich also im vorletzten Schritt den ersten Vektor als Vektor der äußeren Ableitungen verstehen und den zweiten dann als Vektor der inneren Ableitungen, also nur so rein von der Interpretation!?

29.07.2009, 10:41

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Rein formal ist das erste eine 1x2-Matrix und das zweite eine 2x1-Matrix. Die Multiplikation dieser Matrizen entspricht dem Skalarprodukt.

29.07.2009, 10:49

captmorgan

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Ah, super ... dann hab ich es jetzt. Vielen lieben Dank für die superschnelle Hilfe. Es ist halt immer besser, es auch wirklich zu verstehen, anstatt es nur zu verwenden.

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