Bild und Kern bestimmen

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Komand Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern bestimmen
Hi,

bisher hatte ich eigentlich noch kein Problem mit der Bestimmung von Bild und Kern, jetzt komme ich allerdings nicht weiter:

Wähle in Abängigkeit von a je eine Basis von Bild A und Kern A:



___


Blauäugig wie ich bin, hab ich einfach mal den Gauss angewendet und dann folgendes rausbekommen:




Soweit der Kern. Nun zum Bild, das ja von den Pivotspalten des Endschemas aufgespannt wird. Laut Dimensionssatz gilt ja dim(Bild)=dim(V)-dim(Kern), also 4-1=3 für Fall 1 und 4-2=2 für Fall 2, richtig?

Jetzt hätte ich also für Fall 1 einfach die Basis aus den ersten dreil Spaltenvektoren für A konstruiert, und für Fall 2 aus den ersten zweien, weil die ja jeweils Pivotspalten im Endschema sind. Leider sieht das die MuLö aber anders. Dort heisst es zu Fall 1 nur: "die Matrix wird um eine Zeile erweitert". Außerdem: "ist a ungleich 0, spannt die Matrix den vollen R4 auf, was man daran sieht, dass die reduzierte Matrix dann keine Leerzeilen hat". Sonst nichts. Es wird nicht einmal eine mögl. Bildbasis angegeben.

Auch beim zweiten Fall, also a=0, kann ich überhaupt nicht folgen: "Für den Fall dass die Matrix nicht den vollen Bildraum aufspannt, also a=0, kann man mit folgendem Verfahren eine Basis finden:..."
ja und dann transformieren sie A und wenden Gauss an --> die nicht Nullzeilen sind dann rücktransformiert die gesuchte Basis. Prinzipiell kannte ich das Verfahren, habe aber immer gedacht, es sei bloß eine Alternative zu der Variante, dass man sich die Pivotspalten als Basis nimmt.

Außerdem bekommen sie dann drei Basisvektoren, was ja dem obigen Dimensionssatz widersprechen würde. Kann es sein, dass ich da schon ein Fehler drin habe?

Wer kann mir erklären, warum man hier nicht einfach so wie sonst auch, die Pivotspalten nehmen kann, sondern erst "die Matrix um eine Zeile erweitern" und im 2. Fall die Transformationsmehtode verwenden muss?

Grüße, Komand
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RE: Bild und Kern bestimmen
Zitat:
Original von Komand


Das Ergebnis ist ok, aber es ist auch x_5 = 1 und x_4 = 0 möglich.

Zitat:
Original von Komand
Nun zum Bild, das ja von den Pivotspalten des Endschemas aufgespannt wird. Laut Dimensionssatz gilt ja dim(Bild)=dim(V)-dim(Kern), also 4-1=3 für Fall 1 und 4-2=2 für Fall 2, richtig?

Der Satz stimmt, aber die Rechnung nicht. Was ist denn dim(V) ?
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Der Satz stimmt, aber die Rechnung nicht. Was ist denn dim(V) ?

Mist, das hab ich ja schon befürchtet. Tja, dim (V) dachte ich sei 4, weil die Vektoren ja in R4 sind. Aber der MuLö nach zu schließen muss es wohl 5 sein.

Das hilft mir aber bei meinem eigentlichen Problem wohl nicht weiter, oder doch?

Komand
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Zitat:
Original von Komand
Tja, dim (V) dachte ich sei 4, weil die Vektoren ja in R4 sind.

Welche Vektoren sind in R^4 ?

Zitat:
Original von Komand
Das hilft mir aber bei meinem eigentlichen Problem wohl nicht weiter, oder doch?

Eigentlich schon.
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Vektoren sind in R^4 ?

sämtliche Spaltenvektoren haben doch die Dimension 4 oder bin ich jetzt völlig auf dem falschen Dampfer?

Zitat:
Eigentlich schon.

Inwiefern? Was ich hier primär nicht verstehe, ist, warum man nicht wie üblich mittels der Pivotspalten an eine Basis kommt?

Was ist denn jetzt die richtige Dimension von V? Machs doch nicht so spannend. Augenzwinkern

Komand
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Zitat:
Original von Komand
Was ist denn jetzt die richtige Dimension von V? Machs doch nicht so spannend. Augenzwinkern

Ich verstehe nicht, welche Probleme du damit hast. Welcher Raum wird denn nun mittels der Matrix A auf welchen Raum abgebildet? Ich würde auch mal die Zahl der Komponenten eines Basisvektors von deinem Kern zählen. Augenzwinkern
 
 
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welcher Raum wird denn nun mittels der Matrix A auf welchen Raum abgebildet?

das weiß ich nicht. Du siehst doch, dass ich total am Schwimmen mit den Raumbegriffen bin. Es ist etwa ein Jahr her, dass ich Lin. Alg als 2 stündige Vorlesung ein Semester lang hatte, woher soll da Tiefenverständnis kommen?
Ich glaube mir wäre mehr geholfen, wenn du mir meine zentrale Frage,
Zitat:
warum man nicht wie üblich mittels der Pivotspalten an eine Basis kommt?
, beantwortest. Schließlich hatte ich ja nie Probleme beim Lösen von Kern/Bild-Aufgaben, bis jetzt jedenfalls.

Komand
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Zitat:
Original von Komand
Es ist etwa ein Jahr her, dass ich Lin. Alg als 2 stündige Vorlesung ein Semester lang hatte, woher soll da Tiefenverständnis kommen?

Das ist eher Thema von LA1. Und die Anzahl der Komponenten in einem Basisvektor des Kerns kann schon jeder Grundschüler abzählen. Du solltest dir erstmal Gedanken machen, welche Räume unter der Matrix A abgebildet werden. Erst wenn das geklärt ist, kann man sich weitergehende Gedanken machen.
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und die Anzahl der Komponenten in einem Basisvektor des Kerns kann schon jeder Grundschüler abzählen.

wenn du dich schon konsequent weigerst meine Antworten aufmerksam zu lesen, dann spar dir wenigstens solche Polemik!
Zitat:
Das ist eher Thema von LA1.

Etwas anderes habe ich auch nie gemeint. Ich habe versucht dir klarzumachen, dass ich keine Absicht habe, mich näher mit der Materie zu befassen. Ich möchte lediglich begreifen, warum ich diese Aufgabe nicht, wie alle anderen, die ich zu dem Thema lösen konnte, lösen kann.
Ich bitte dich, mir nicht mehr zu antworten, wenn es nicht bez. dieser Frage ist.

Komand
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Zitat:
Original von Komand
wenn du dich schon konsequent weigerst meine Antworten aufmerksam zu lesen, dann spar dir wenigstens solche Polemik!

Welche Antworten? Das sind doch eher nur neue Fragen statt Antworten auf meine Fragen. Und warum du dich standhaft weigerst, die Anzahl der Komponenten eines Basisvektors im Kern zu zählen, mußt du selber wissen. Dann entsteht eben das, was du Polemik nennst. Aber bitte schön, ich muß dir nicht helfen, wenn du nicht willst.
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