Metrische/ Normierte Räume (Trivialaufgabe)

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BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »
Metrische/ Normierte Räume (Trivialaufgabe)
"Sei eine metrischer Raum

ist offen."


Es gilt . Nach Definition bleibt zu zeigen, dass zu jedem ein Kugel existiert die dann auch wieder in liegt.
Sei dazu beliebig gewählt; es folgt u. somit .
ist somit Umgebung eines jeden Punktes und somit nach Def. offen.




Alles richtig oder habe ich was verdreht??
Danke im Voraus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrische/ Normierte Räume (Trivialaufgabe)
Zitat:
Original von BanachraumK_5
Sei dazu beliebig gewählt; es folgt

Du redest an dieser Stelle von einem epsilon2, hast aber nicht gesagt, wie dieses definiert wird.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

zu jeder postiven Zahl mit[/latex]

O.K. ???? Wichtig ist hier ja, dass die Kugel in liegen soll, also kann unser natürlich nicht beliebig groß werden!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
zu jeder postiven Zahl mit[/latex]

Das ist keine Definition oder Festlegung. Diese würde so anfangen:
Sei epsilon2 = ...
oder: Wähle epsilon2 > 0 so, daß gilt ...

Dann solltest du noch sagen, wie eine Kugel definiert ist.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist keine Definition oder Festlegung. Diese würde so anfangen: Sei epsilon2 = ... oder: Wähle epsilon2 > 0 so, daß gilt ...


Wähle so dass gilt .


Zitat:
Dann solltest du noch sagen, wie eine Kugel definiert ist.


Die offene Kugel mit Radius und Mittelpunkt ist definiert durch


Weiter sagt man, dass eine Menge Umgebung von , wenn es eine Kugel mit gibt.

Gut dann müsste der Beweis jetzt aber passen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also einen schlüssigen Beweis habe ich bis jetzt nicht gesehen. Anders gesagt: ich kann deine Beweis-Ausführungen nicht wirklich nachvollziehen. Aber vielleciht liegt das auch an mir.
 
 
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gilt . Nach Definition bleibt zu zeigen, dass zu jedem ein Kugel existiert die dann auch wieder in liegt. Sei dazu beliebig gewählt; es folgt u. somit . ist somit Umgebung eines jeden Punktes und somit nach Def. offen.




Ist das nicht schlüssig? Da habe ich doch alles gezeigt??
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die offene Kugel mit Radius und Mittelpunkt ist definiert durch Weiter sagt man, dass eine Menge Umgebung von , wenn es eine Kugel mit gibt.


und hier habe ich nochmal die Begriffe erläutert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrische/ Normierte Räume (Trivialaufgabe)
Ich habe Probleme mit dieser Aussage:

Sei dazu beliebig gewählt; es folgt u. somit .

Wieso sollte sein?
Das mag zwar so sein, aber die obige Folgerung macht mir das nicht plausibel.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme klarsoweit zu: Der Ansatz ist der richtige, die Formulierung mit dem "es folgt" ist aber leider sehr schlecht gewählt. Außerdem hast du auch überhaupt nicht begründet, warum es solch ein geben soll bzw. warum dann deine Kugel sinnvoll definiert ist. Ebenso musst du die behauptete Inklusion natürlich noch zeigen, das ist wesentlicher Teil der Aufgabe!
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »



wenn wir jetzt ein beliebig wählen gilt ja auf jeden Fall .

So und jetzt wählen wir ein positives so dass, gilt.

Schreibe , daraus folgt dann in der Tat, dass eine Umgebung ist! Somit ist alles gezeigt. (Du weißt was eine Umgebung ist)
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso sollte sein?



Naja und wir konstruieren ja eine Kugel in mit dem Radius , also
gilt in der Tat
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Schreibe , daraus folgt dann in der Tat, dass eine Umgebung ist!

Erstens müßte es doch heißen , zweitens warum folgt daraus, daß eine Umgebung ist und drittens was bringt mir das?

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Naja und wir konstruieren ja eine Kugel in mit dem Radius , also
gilt in der Tat

Du müßtest eben zeigen, daß für alle z aus auch z Element von ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
So und jetzt wählen wir ein positives so dass, gilt.

Das reicht nicht. Wichtig ist doch, dass du ein mit wählst, sonst ergibt die Kugel, von der du danach sprichst, überhaupt keinen Sinn! Du könntest z.B. einfach wählen und würdest diese laxe Formulierung umgehen.

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Zitat:
Wieso sollte sein?



Naja und wir konstruieren ja eine Kugel in mit dem Radius , also
gilt in der Tat

Das ist vielleicht anschaulich klar, aber das ist bekanntermaßen kein gutes Argument in der Mathematik. Du musst dies mit Eigenschaften einer Metrik zeigen! Nur weil es anschaulich für den klar ist, heißt das ja nicht, dass es für alle metrischen Räume gelten muss. Es stimmt aber doch für alle metrischen Räume, da man für den Beweis nur die Dreiecksungleichung und die Symmetrie benötigt. Das musst du aber noch ausführen!
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Erstens müßte es doch heißen , zweitens warum folgt daraus, daß eine Umgebung ist und drittens was bringt mir das?


Erstens stimmt, ist aber eigtl. irrelevant, da jene ohnehin in , da ja liegt und wir ja nur Elemente für den Radius betrachten.

Zweitens: Nach Definition der Umgebung folgt sehr wohl, dass eine Umgebung von y ist. Denn es gibt eine Kugel die Teilmenge von ist. Wir nennen heißt auch Umgebung oder Kugelumgebung von !

Drittens: Das bringt dir dass, das dann deine Menge offen ist! Hast du die Definition der offenen Menge in einem metrischen Raum gelesen/ verstanden??

Hier ist sie nochmal:



Zitat:
Du müßtest eben zeigen, daß für alle z aus auch z Element von ist.

folgt aus der Wahl von Epsilon2!
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mathespezialschüler sagte: Das reicht nicht. Wichtig ist doch, dass du ein mit wählst, sonst ergibt die Kugel, von der du danach sprichst, überhaupt keinen Sinn! Du könntest z.B. einfach wählen und würdest diese laxe Formulierung umgehen.


Halt mal ganz langsam, ich habe doch gesagt positiv und kleiner als ist, dass ist doch das selbe.

Und außerdem gilt, so wie Mathespezialschüler schreibt nicht, denn dann landen wir ggf. auf dem Rand! in der Tat müssen wir also kleiner wählen.


Zitat:
Das ist vielleicht anschaulich klar, aber das ist bekanntermaßen kein gutes Argument in der Mathematik. Du musst dies mit Eigenschaften einer Metrik zeigen! Nur weil es anschaulich für den klar ist, heißt das ja nicht, dass es für alle metrischen Räume gelten muss. Es stimmt aber doch für alle metrischen Räume, da man für den Beweis nur die Dreiecksungleichung und die Symmetrie benötigt. Das musst du aber noch ausführen!


Wo soll denn bitteschön die gennannte Kugel sonst drin liegen. y ist doch ein Element aus U(x,e) und der Radius von Epsilon2 wurde entsprechend klein gewählt, aus topologischen Grunden müsste meine Behauptung richtig sein??

Wo soll den die Kugel sonst "liegen"???? Es gibt doch als Möglichkeit nur U(x,e) oder das Komplement.



Danke für die Hilfe!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Halt mal ganz langsam, ich habe doch gesagt positiv und kleiner als ist, dass ist doch das selbe.

Entschuldigung, das hatte ich überlesen.

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Und außerdem gilt, so wie Mathespezialschüler schreibt nicht, denn dann landen wir ggf. auf dem Rand! in der Tat müssen wir also kleiner wählen.

Nein, muss man nicht. Wenn man wählt, dann ist die Kugel auch komplett in enthalten. Beachte, dass in der Definition natürlich für beide Kugeln ein Kleiner steht! Es gibt eventuell durchaus Punkte mit , die auf dem Rand von liegen, aber solche liegen ja auch nicht in , da sonst gelten müsste.

Warum benutzt du eigentlich zwei verschiedene Schreibweisen für Kugeln um einen Punkt? verwirrt

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Wo soll denn bitteschön die gennannte Kugel sonst drin liegen. y ist doch ein Element aus U(x,e) und der Radius von Epsilon2 wurde entsprechend klein gewählt, aus topologischen Grunden müsste meine Behauptung richtig sein??

Nein, mit Topologie hat das nichts zu tun. Man braucht hier die metrische Struktur des Raumes, die topologische reicht nicht aus, denn die topologische Struktur vergisst, dass es irgendwelche Abstände gab.

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Wo soll den die Kugel sonst "liegen"???? Es gibt doch als Möglichkeit nur U(x,e) oder das Komplement.

Wie meinst du das? Du hast eine Menge , deren Komplement und eine dritte Menge , von der du weißt, dass gilt. Deine Behauptung hört sich so an, als gäbe es nur die Möglichkeiten und , wobei letztere natürlich ausgeschlossen wäre. Diese Behauptung wäre aber falsch, kann natürlich beide Mengen schneiden!
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, muss man nicht. Wenn man wählt, dann ist die Kugel auch komplett in enthalten. Beachte, dass in der Definition natürlich für beide Kugeln ein Kleiner steht! Es gibt eventuell durchaus Punkte mit , die auf dem Rand von liegen, aber solche liegen ja auch nicht in , da sonst gelten müsste.


Musste zwar nochmal genau überlegen, aber du hast Recht. Das folgt eben gerade deshalb weil in der kugel ein kleiner Zeichen steht.
Da hatte ich mir die Notation nicht genau genug angeschaut.


Zitat:
Wie meinst du das? Du hast eine Menge , deren Komplement und eine dritte Menge , von der du weißt, dass gilt. Deine Behauptung hört sich so an, als gäbe es nur die Möglichkeiten und , wobei letztere natürlich ausgeschlossen wäre. Diese Behauptung wäre aber falsch, kann natürlich beide Mengen schneiden!


Also deine Ausführung verstehe ich nich ganz. Wir haben die Menge und unseren metrischen Raum

Nun können wir also die Mengen oder betrachten. Nun gilt:
also liegt doch unsere Kugel in

Ich weiß nicht was daran nicht offensichtlich sein soll??? Klar wenn du allgemein ein betrachtest klappt dass nicht mehr.
Aber ich wähle in diesem Fall explizit mit und dann passt das so (meine ich).


Zitat:
Warum benutzt du eigentlich zwei verschiedene Schreibweisen für Kugeln um einen Punkt?


Ich benutzte immer die Kugelschreibweise für sowas, also wie bei . In der Aufgabenstellung steht halt einfach die Menge so da. Nun wollte die Aufgabenstellung übernehmen, aber meine Schreibweise für Kugeln beibehalten und deswegen sind sie verschieden.
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