Gemeinsame Dichte bei nicht unabhängigen ZV

29.07.2009, 21:36

Gemeinsame Dichte bei nicht unabhängigen ZV

Hallo,

ich hätte da eine allgemeine Frage:

Folge X einer bekannten Verteilung, Y besitze eine zweite - nicht zwangsläufig gleiche - Verteilung, wie kann ich die gemeinsame Dichte

f(x,y)

angeben wenn X und Y korreliert sind?

Bsp: X sei Weibullverteilt, Y Normalverteilt nun will ich die Wahrscheinlichkeit P(X<a, Y<b) ausrechnen, wenn ich weiß dass X,Y den Korrelationskoeff rho haben.

Wie kann ich nun die gemeinsame Dichte bestimmen?

In der Literatur finde ich immer nur "Bauhilfen" wenn die ZV X,Y unabhängig sind. Kann mir da einer aushelfen, bzw. ein Rezept verraten wie ich zu der gemeinsamen Dichte komme?

P.S. Hoffe ich habe nicht zuviele mathematische Unsinnigkeiten formuliert. Bin nicht gerade soooo fit in Statistik, ich versuche dies aber zu ändern ;-)

29.07.2009, 22:10

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Zitat:

Original von an
Wie kann ich nun die gemeinsame Dichte bestimmen?

Eindeutig? Überhaupt nicht - das Problem ist massiv unterbestimmt.

Wenn überhaupt, dann kannst du einen möglichen Vektor $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ mit diesen Eigenschaften konstruieren, aber von Eindeutigkeit ist da nicht die geringste Spur.

Siehe etwa dieses sicherlich etwas ungewöhnliche Beispiel zweier unkorellierter standardnormalverteilter Zufallsgrößen, die nicht unabhängig sind.

30.07.2009, 14:19

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Erstmal danke für die ausführliche Antwort.

Hmmm, dann weiß ich überhaupt nicht mehr weiter.

Wie kann ich mir irgendeine spezielle Lösung des Zufallsvektors (X,Y) konstruieren, die die geforderten Eigenschaften erfüllt?

maW:
Ich benötige "nur" die gemeinsame Dichte für X ~ Weibullverteilt, Y ~ Lognormalverteilt (bei nicht gegebener Unabhängigkeit), wie kann ich mir IRGENDEINE Lösung zusammenbauen? Wäre super wenn du mir da vllt ein, zwei Stichworte nennen könntest, damit ich hier weiterführende Literatur finden kann.

Da du sagst das das Problem unterbestimmt ist, welche Informationen wären nötig um eine Eindeutigkeit zu gewährleisten?

Vielen Dank im voraus.

P.S. sehr kompetentes Forum!

30.07.2009, 15:09

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Zitat:

Original von an
Da du sagst das das Problem unterbestimmt ist, welche Informationen wären nötig um eine Eindeutigkeit zu gewährleisten?

Schwer zu sagen - praktisch alle! Die Randverteilungen, selbst unter Hinzuziehung des Korrelationskoeffizienten, sind nur ein blasses Abbild der gemeinsamen Verteilung.

Zitat:

Original von an
Wie kann ich mir irgendeine spezielle Lösung des Zufallsvektors (X,Y) konstruieren, die die geforderten Eigenschaften erfüllt?

Ich benötige "nur" die gemeinsame Dichte für X ~ Weibullverteilt, Y ~ Lognormalverteilt (bei nicht gegebener Unabhängigkeit), wie kann ich mir IRGENDEINE Lösung zusammenbauen?

Hmmm, ist mir noch nie begegnet, ein derartiges Problem. Deswegen ist mein Zugang vielleicht unkonventionell:

Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ weibullverteilt mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ sein soll, sowie $\begin{eqnarray*} \ln(Y)~\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit vorgegebenen Korrelationskoeffizient $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ , dann könnte man ein mögliches $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ so konstruieren:

Mit $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ unabhängig auf [0,1] gleichverteilt kannst du z.B.

$\begin{eqnarray*} X := F_X^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y := \exp\left( \lambda \sigma \Phi^{-1}(U) + \sqrt{1-\lambda^2} \sigma\Phi^{-1}(V) + \mu \right) \end{eqnarray*}$

definieren, dann stimmen schon mal beide Randverteilungen, wie man nach kurzer Überprüfung feststellen kann. Und dann kann man den Korrelationskoeffizienten von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ berechnen (was ein hartes Stück Arbeit sein dürfte) - um den auf den gewünschten Wert $\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ zu trimmen, kann man noch an der Stellschraube $\begin{eqnarray*} -1\leq \lambda \leq 1 \end{eqnarray*}$ drehen. Augenzwinkern

30.07.2009, 17:23

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Wow, mit soviel Information hätte ich jetzt gar nicht gerechnet. Vielen Dank!

Wenn ich mir deine Beiträge durchlese wird mir klar, dass ich mich noch sehr viel mit Statistik beschäftigen muss. Vllt fliegt mir ja im Laufe meiner Karriere noch etwas Hirn zu.

Ich benötige etwas Zeit um über deine Angaben nachzudenken, werde aber ganz bestimmt noch ein paar Fragen haben dazu habe, die ich aber momentan noch nicht formulieren kann.

Kannst du aus deiner Erfahrung abschätzen wie "gutartig" so eine Approximation über irgendeine Lösung für die unbekannte wahre Verteilung ist?

Kann man da eine ungefähre Angabe so wie: "Es sollte für eine Realistation x,y nicht mehr als +-5% Abweichung entstehen" treffen? Da ja durch die gegebener Parameter der jeweiligen Verteilungen sowie des Korrelationskoef. die resultierende Verteilung zumindest teilweise bestimmt ist. Sollte dies der Fall sein, reicht mir dies vollkommen.

Da ich mir aber so langsam der Größe des Problems im bewusst bin, würde ich behaupten, dass eh nur statistischer "Blödsinn", zur "richtigen" Verteilung entsteht. (In diesem Fall kann ich ebenso eine unabhängigkeit unterstellen, was aber bestimmt zu noch größeren Fehlern führt)

Einen schönen Abend!

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