Cardanische Formeln

30.07.2009, 14:02

Jev

Cardanische Formeln

schönen guten tag allerseits

das ganze hat ne längere geschichte:

bei einer fragestellung aus einem spiel wollte ich das ergebnis ausrechnen
dazu hab ich mir ne große gleichung aufgestellt und rumgerechnet
bis ich auf eine kubische gleichung kam und vor dem problem stand,
eine zahl zu raten damit ich mit polynomdivision weitermachen kann.
ich hab keine finden können und hab dann über wikipedia die cardanischen formeln gefunden
aber nicht anwenden können.

wikipedia sagt man kommt von

x^3 + ax^2 + bx + c = 0

auf

z^3 + pz + q = 0

( mit p=b-(a^2)/3 und q=(2a^3)/27-ab/3+c )

indem man

x=z-a/3

substituiert.

ich hab das mal probiert und kam auf alles mögliche
aber nicht auf z3 + pz + q = 0
und vor allem entfällt bei mir nicht wie gewünscht derquadratische teil.
da es dazu nirgends findbar einen rechenweg gibt
wollte ich mal fragen ob einer von euch mir da weiter helfen kann ?

anhang:

die grundfrage kommt aus baldur's gate 2 und geht ungefähr so:

"eine prinzessin ist so alt wie der prinz sein wird, wenn die prinzessin so alt ist wie das doppelte alter des prinzen war, als die prinzessin so alt war, dass die hälfte ihres alters die summe der alter von prinz und prinzessin ergaben"

ich hab das so aufgestellt das prinz und prinzessin jeweils 3 variablen bekommen
eine für's jetzige alter, eine für's damalige und eine für's zukünftige
hinzu kommt eine variable die den altersunterschied zwischen beiden darstellt (prinzessin mal x = prinz)

30.07.2009, 14:14

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Zitat:

Original von Jev
da es dazu nirgends findbar einen rechenweg gibt

Soso, da du eigentlich ja schon in der Wikipedia gesucht hast, ist dir diese Rechnung wohl entgangen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gl...eine_Normalform

Wenn das noch nicht genügt, dann präsentiere doch mal deine Rechnung, wir finden dann schon den Fehler.

---------------------------------------

Beim inhaltlichen Hintergrund ist so einiges im argen:

Zitat:

Original von Jev
als die prinzessin so alt war, dass die hälfte ihres alters die summe der alter von prinz und prinzessin ergaben

Hier ist dann wohl die Zeit aus den Fugen geraten: Mit Alter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Prinzessin und Alter $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ des Prinzen zu dem Zeitpunkt, über den in dem Zitat geredet wird, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} = a+b \end{eqnarray*}$ , umgeformt $\begin{eqnarray*} a = -2b \end{eqnarray*}$ .

Mit nichtnegativen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ist das allenfalls durch $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ erfüllbar, was alles so richtig keinen Sinn macht.

Zitat:

Original von Jev
hinzu kommt eine variable die den altersunterschied zwischen beiden darstellt (prinzessin mal x = prinz)

Der Altersunterschied zweier Menschen drückt sich durch eine konstante Differenz aus, nicht durch einen konstanten Quotienten. unglücklich

Denn diese Differenz bleibt gleich, ein Leben lang - der Quotient ändert sich ständig. Augenzwinkern

EDIT: Durch eine kleine Google-Anfrage ist klar, dass du den von mir angesprochenen letzten Teil des Rätsels völlig vergurkt wiedergegeben hast, mit gleich zwei katastrophalen Fehlern. Kein Wunder, dass es da nicht aufgeht.

31.07.2009, 16:31

jev

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versuch 2
auweia Hammer

na dass hab ich ja mal versaut
die lösung für cardan war nur ein klick entfernt,
die frage war falsch aufgeschrieben
und umsonst hab ich mich auch noch blöd-gerechnet:

Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} = a+b \end{eqnarray*}$ , umgeformt $\begin{eqnarray*} a = -2b \end{eqnarray*}$ .

Mit nichtnegativen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ist das allenfalls durch $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ erfüllbar, was alles so richtig keinen Sinn macht.

ich danke schon mal für die schnelle reaktion auf meinen beitrag Gott

nun muss ich alles nochmal andersrum machen
aber es ist ja nicht so als würde ich die antwort nicht kennen,
ich wollt eigentlich nur mal kuggen ob man das nachrechnen kann, statt zu raten
ich hab hier dann also nochmal die richtige frage:

"Eine Prinzessin ist so alt wie der Prinz sein wird, wenn die Prinzessin doppelt so alt ist wie der Prinz war, als das Alter der Prinzessin halb soviel betrug wie die Summe ihrer beiden jetziger Alter."

so
da ich ja für den ersten versuch erstmal geschlagen werden müsste
will ichs dann gleich nochmal richtig probieren
aber wie geht man da ran ?

31.07.2009, 17:16

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Erstmal sollte man sich eine vernünftige Zeitskale überlegen, damit man nicht durcheinanderkommt.

Beispielsweise könnte man die Geburt der Prinzessin (die ja offenbar älter als der Prinz ist) mit Zeitpunkt 0 festlegen. Dann ist die Prinzessin immer genauso alt wie der zugehörige Betrachtungszeitpunkt.

Der Prinz sei genau $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ Jahre jünger, d.h., sein Geburtszeitpunkt ist dann auch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .

Dann kommen in dem Rätsel drei Zeitpunkte vor:

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ... die Gegenwart

$\begin{eqnarray*} t_Z \end{eqnarray*}$ ... die Zukunft, wo der Prinz genauso alt sein wie die Prinzessin zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} t_Z = t+d \end{eqnarray*}$ klar.

$\begin{eqnarray*} t_V \end{eqnarray*}$ ... die Vergangenheit, um die es in den letzten Teilsätzen ging

Dann kriegt man aus dem allerletzten Teilsatz raus

$\begin{eqnarray*} t_V = \frac{t+(t-d)}{2} = t -\frac{d}{2} \end{eqnarray*}$

und aus dem vorletzten

$\begin{eqnarray*} t_Z = 2(t_V-d) \end{eqnarray*}$ .

Obige Formeln für $\begin{eqnarray*} t_Z,t_V \end{eqnarray*}$ hier eingesetzt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} t+d = 2t-3d \end{eqnarray*}$ , umgestellt zu $\begin{eqnarray*} t=4d \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} t_V \end{eqnarray*}$ sicher ganzzahlig sein soll, muss noch die Altersdifferenz $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ gerade sein.

Tja, mehr geben die Angaben nicht her, die Lösung ist also nicht eindeutig: Die Prinzessin kann 16 sein, und der Prinz 12; sie kann aber auch 24 sein, und der Prinz 18; oder (32,24) , (40,30), (48, 36), ... Augenzwinkern

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