Schnittgerade von zwei Ebenen

21.09.2006, 13:48	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade von zwei Ebenen Hallo! hab da irgendwie nen Problem mit der Schnittgeraden zweier Ebenen: Gegeben sind die Ebenen: $\begin{eqnarray} E_1: \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_2: \vec{x} =\begin{pmatrix} -8 \\ 13 \\ 9 \end{pmatrix} +p\begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} +q\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ergibt dann folgendes LGS: $\begin{eqnarray} 4+r-2s=-8-8p+2q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+ 3s=13+p+q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+5r+7s=9+5p-4q \end{eqnarray}$ Das hab ich dann so aufgelöst, dass ich $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ ausdrücken kann. Da hab dann raus: $\begin{eqnarray} r=\frac{892}{123}-\frac{346}{123} s \end{eqnarray}$ Dieses Ergebnis kommt mir schomal sehr sehr komisch vor. Vielleicht kann das ja mal einer nachrechnen. Naja, dann geht meine Frage aber eigentlich vom allgemeinen Procedere her weiter: Ich muss ja nun mein Ergebnis für r in die Gleichung von $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ einsetzen. Dann hab ich da folgendes stehen: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +(\frac{892}{123} -\frac{346}{123} s)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt macht mir das Weiterrechnen Probleme. Wie fasse ich das jetzt weiter zusammen, sodass ich da nur noch 2 als Variable stehen habe? Ich mein, das Skalar da reinzumultiplizieren, soll nicht das Problem sein. Aber wie fasse ich das mit dem s zusammen und was mach ich mit dem von s unabhängigen Bruch? Vielen Dank für die Antworten! Krissi123 edit: Ich hab mein LGS nochmal durhgerechnet. Hab nen paar Fehler gemacht. Habe nun folgendes raus: $\begin{eqnarray} r=-\frac{13}{2} -\frac{1}{8} s \end{eqnarray}$ Das sieht schon besser aus als das andere Ergebnis :-)
21.09.2006, 14:05	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Habs gerade auch mal durchgerechnet. Kommen aber sehr schöne Zahlen bei mir raus. Hast dich vielleicht irgendwo verrechnet... Meine Vorgehensweise: Ich habe in der Matrix links unten ein Dreieck von nullen durch Umformungen erzeugt und dann durch Auflösen der letzten Gleichung nach q für q=2p rausbekommen und das dann in Ebene E2 eingesetzt. Das Problem ist, dass aufgrund der vielen Parameter bei jedem die Rechnungen anders aussehen werden... Gruß Björn
21.09.2006, 15:10	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde eine der beiden ebenen auf die koordinatenform bringen, dann rechnet es sich viel leichter, und noch ein tip: verwende andere parameter als p und q, da hat man oft probleme, auf der richtigen seite des striches zu sein. schäm ansonsten finde ich auch wie bjoern: q = 2p werner
21.09.2006, 16:14	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt auch raus. Kann mir das vielleicht jemand noch vorrechnen, wie ich das dann wieder in eine der beiden Ebenengleichungen einsetze? Also das da reinmultipliziere und sowas?
21.09.2006, 16:22	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Brauchst dann eigentlich nur noch die 2 in den Vektor ziehen, also jede Komponente mit 2 multiplizieren. Dadurch hast du dann vor zwei Vektoren jetzt den Parameter p stehen. Diese Vektoren musst du dann nur noch addieren und das p bleibt dann eben davor als Faktor stehen. Kannste ja mal probieren und deine Lösung posten, dann können wir vergleichen Gruß Björn
21.09.2006, 16:23	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
in E2 q = 2p setzen und komponentenweise zusammenzählen. werner
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