Komplexe Konjugation

30.07.2009, 22:11

schmouk

Komplexe Konjugation

Hi,

ich wiederhole gerade Stoff. Follgende Aufgabe:

Bestimme alle komplexen Zahlen, die gleich dem konjugiert Komplexen ihres Quadrates sind.

Also denke ich an: $\begin{eqnarray*} z=\bar{z^2} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} z=(a,b)=a+bi=(a-bi)^2; z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ würde ich mal behaupten.

Warum? Weil über C jeder Polynom in Linearfaktoren zerfällt?

Grüße,

Schmouk

30.07.2009, 22:16

Bjoern1982

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Verstehe nich genau was du da machen willst verwirrt

Ich würde ganz allgemein ansetzen, also den Realteil und Imaginäranteil der komplexen Zahl auf der linken und rechten Seite der Gleichung miteinander vergleichen, wodurch dann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten entstehen.

30.07.2009, 22:34

schmouk

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Ja gut, ich hab das bisher so:

$\begin{eqnarray*} a+bi=a^2-2abi-b^2 \end{eqnarray*}$

was nach umformungen 2 lösungen hat.

$\begin{eqnarray*} b_1=\frac{i(-2a-1+\sqrt{8a+1})}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=\frac{i(2a+1+\sqrt{8a+1})}{2} \end{eqnarray*}$

und jetzt?

Was ich jetzt sehe ist, dass wenn ich a=1 wähle ich b=0 als mögliche lösung bekomme. Also ist z.B. (1,0) so eine komplexe Zahl.

Das ist ja im Grunde ein LGS. Dessen Lösungsraum ist im Grunde des Rätsels Lösung. Komme ich da noch irgendwie näher heran?

30.07.2009, 22:36

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a+bi=(a^2-b^2)-2abi \end{eqnarray*}$

Ich meinte eigentlich so, dass du nun Real und Imaginäranteil auf beiden Seiten vergleichst:

a=a²-b²

b=-2ab

30.07.2009, 23:35

schmouk

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Ich bekomme z.B. folgende Kandidaten:

1. $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{4}})=\overline{(\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{4}})^2} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2},- \sqrt{\frac{3}{4}})=\overline{(\frac{1}{2},- \sqrt{\frac{3}{4}})^2} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} (0,0)=\overline{(0,0)^2} \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} (1,0)=\overline{(1,0)^2} \end{eqnarray*}$

Aber was mich nicht befriedigt ist, dass ich keinen Beweis hab, dass es ausser diesen tatsächlich nicht noch weitere gibt.

30.07.2009, 23:44

Bjoern1982

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Für b ungleich null müsste Gleichung 2 in meinem vorigen Post ja a=-0,5 ergeben, oder ?

Den Fall b=0 hast du richtig erfasst, denn a=a² <=> a=0 oder a=1

Da a eine reelle Zahl sein muss sind das dann auch für den Fall b=0 die einzigen Lösungen.

Für b ungleich null sind deine Lösungen bis auf den Vorzeichenfehler korrekt und auch die einzigen, denn auch b muss ja eine reelle Zahl sein.

31.07.2009, 08:57

Leopold

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Schön ist es auch, rein komplex zu argumentieren. Da die Konjugation mit der Multiplikation verträglich ist, kann man die Gleichung auch als

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ z = \bar{z}^2 \end{eqnarray*}$

schreiben. Sie wird offenbar von $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ gelöst. Betrachten wir daher von jetzt ab nur noch $\begin{eqnarray*} z \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Durch Übergang zum Betrag folgt:

$\begin{eqnarray*} \left| z \right| = \left| \bar{z}^2 \right| \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z \right| = \left| z \right|^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z \right| = 1 \end{eqnarray*}$

Weitere Lösungen von $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ müssen also auf dem Einheitskreis liegen. Dort gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{\left| z \right|^2} = \bar{z} \end{eqnarray*}$

Das verwenden wir in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{z^2} \ \ \Leftrightarrow \ \ z^3 = 1 \end{eqnarray*}$

Damit sind 0 und die dritten Einheitswurzeln die sämtlichen Lösungen von $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ .

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