totales Differential

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rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »
totales Differential
Hallo,
ich wollte das totale Differential von berechnen.

OHNE partielle Ableitungen müsste ich doch rechnen:


MIT partiellen Ableitungen dann:

-> Steigung in x-Richtung (wieso ist eigentlich die x-steigung auch von y-Abhängig???)
-> Steigung in y-Richtung


Die beiden partiellen Ableitungen addiert ergeben das totale Differential:
-> Steigung in x- und y-Richtung

_________________

Jetzt meine Frage: Wieso kommt bei beiden malen was falsches Raus?

in der ML ergibt sich ohne part. Abl.:


und für das mit den part. Abl.:


_________________

Da gibt es noch eine Frage, warum es das gleiche ist???



Würde mich über Hilfestellungen freuen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: totales Differential
Wie hast du denn das totale Differential kennengelernt? [Definition?]

Zitat:
Original von rappozappo
Die beiden partiellen Ableitungen addiert ergeben das totale Differential:


Seit wann denn das?

Zitat:
Original von rappozappo
Da gibt es noch eine Frage, warum es das gleiche ist???


Was soll das Gleiche sein?
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

hi, also hier die definition die ich NICHT verstanden habe aus Wiki:
"Dabei ist die totale Ableitung von der partiellen zu unterscheiden, weil im letztgenannten Fall nur die explizite Abhängigkeit, bei der totalen Ableitung dagegen auch die impliziten Abhängigkeiten, also mögliche Abhängigkeiten der Parameter mitgezählt werden."

implizit ??explizit??? hm...

Hier die Formel auch unter wiki zu finden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential#Einfacher_Fall



und dabei ist ja ...
die partielle ableitung nach x also = 2x+2y
die partielle ableitung nach y also = 2x+2y

Daraus folgt ja dann:


In der Musterlösung steht aber folgendes:



Ich weiß net, wie die darauf kommen????




_____________ EDIT __________

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von rappozappo
Da gibt es noch eine Frage, warum es das gleiche ist???

Was soll das Gleiche sein?


Die folgenden Resultate sind einmal mit und einmal ohne partielle Ableitung gebildet worden, aber es kommt trotzdem das selbe raus. Wieso? Also weiß auch net ... haben die so gefragt.

Zitat:
Original von rappozappo

in der ML ergibt sich ohne part. Abl.:


und für das mit den part. Abl.:


_________________

Da gibt es noch eine Frage, warum es das gleiche ist???


Ich persönlich sehe nciht WARUM es das gleiche Resultat ist, da ja bei der ersten Vorgehensweise OHNE partielle ableitung auch noch mehr ausdrücke in der Summe sind.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es nicht eher sein dass du die Musterlösung hast aber dort die Funktion
definiert durch
betrachtet wird? Denn deine berechneten partiellen Ableitungen für sind richtig.


Wieso zweimal das Gleiche herauskam:
Der erste Ansatz ist derjenige über die Taylorreihe von , bzw einer Dreigliedentwicklung. Das ist der direkte Ansatz mit der Definition der totalen Differenzierbarkeit:
Eine Funktion heisst total differenzierbar in genau dann, wenn
es eine (nxm)-Matrix gibt und eine in stetige Funktion gibt mit so, dass

Die Matrix heisst dann Differential von in .

Das bedeutet in der Funktion "sammelt" man alle Ausdrücke mit die eine grössere Potenz als 1 in haben.


Der zweite Ansatz erschliesst sich mir überhaupt nicht. Vorallem sollte man genau erklären was mit dem merkwürdigen "" genau gemeint ist.



Ein Erklärungsversuch zum Unterschied von partieller und totaler Ableitung:
Stell dir vor wir haben eine Funktion und stellen uns an die Stelle .
Nun schauen wir nur in die x-Richtung. Dann können wir fragen wie steil die Funktion ansteigt in dieser Richtung.
Das erledigt die partielle Ableitung nach an der Stelle , also
[=Richtungsableitung in die erste Koordinatenrichtung].
Analog, fragen wir wie ansteigt [oder abfällt] wenn wir bloss in die y-Richtung schauen, dann sagt uns das
[=Richtungsableitung in die zweite Koordinatenrichtung].

Nun kann man auch fragen nach einer lokalen Approximation an im Punkt . Anschaulich ist das die "Tangentialebene" an den Punkt . Diese Ebene wird gerade von
und
aufgespannt. Als Approximation der Funktion enthält die Ebene also Information über die Änderung in sämtlichen Richtungen.
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Kann es nicht eher sein dass du die Musterlösung hast aber dort die Funktion
definiert durch
betrachtet wird? Denn deine berechneten partiellen Ableitungen für sind richtig.


Wieso zweimal das Gleiche herauskam:
Der erste Ansatz ist derjenige über die Taylorreihe von , bzw einer Dreigliedentwicklung. Das ist der direkte Ansatz mit der Definition der totalen Differenzierbarkeit:
Eine Funktion heisst total differenzierbar in genau dann, wenn
es eine (nxm)-Matrix gibt und eine in stetige Funktion gibt mit so, dass

Die Matrix heisst dann Differential von in .

Das bedeutet in der Funktion "sammelt" man alle Ausdrücke mit die eine grössere Potenz als 1 in haben.


Der zweite Ansatz erschliesst sich mir überhaupt nicht. Vorallem sollte man genau erklären was mit dem merkwürdigen "" genau gemeint ist.

Also das ab dem: "Wieso zweimal das Gleiche herauskam:"
Alles klar. Haste das auch kapiert?:P Also ich bin noch net mit meinem Mathematikstudium fertig^^
Bin ein EtIt-Student udn wir hatte ENDE des Semesters die Taylorreihen gemacht. Diese Aufgabe stammt aus der 3. Übung. Und die Dreigliedentwicklung hab ich jetzt versucht zu verstehn, hatten wir aber nicht durchgenommen udn hab ich auch nicht verstanden jetzt!?

Also mit delta ist die Differenz gemeint, die durch die Änderung von dem x- oder y-Wert zustandekommt. Wie man darauf jetzt bei DIESER Aufgabe kommt, weiß ich auch nicht so wirklich. Aber ich denke, man hat beim x+(änderung von x) und y+(änderung von y) eben diesen Punkt (a,b) dann raus, den man haben will ... also er ist variabel, soll die Aufgabe nur sagen? Ich hab aber keine Annung.


[attach]11006[/attach]


Also ich weiß net, wie die aufeinmal die beiden mittleren summanden aus "Lösung a" rausnehmen udn sagen, das ist jetzt das totale differential.
und hab auch keine ahnung, wie die diese funktion in "Lösung b)" nach x ableiten mit delta x multiplizieren und dann 2xdx rausbekommen und nicht 2(x+y)dx ....
Versteht man so was mein Problem eigentlich ist?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir erstmal eine Funktion und einen Punkt . Die Idee ist, dass man am Punkt mit einer einfachen Funktion annähert.
Was ist eine einfache Funktion? Klar, eine linare Funktion !
Wie könnte man es annähern? Klar, versuche eine Tangente zu legen [Skizze machen!].
Geht das immer?

Jedenfalls kann man immer schreiben

wobei eine lineare Funktion ist und die Funktion eben genau den Fehler ausgleichen soll, den man macht wenn man die lineare Funktion nimmt anstatt .

Im Idealfall soll also der relative Fehler den man macht immer kleiner werden je näher man kommt, also soll gelten .

Nun anstatt zu fragen ob das mit dem Fehler immer kleiner werden bei allen Funktionen gut geht dreht man den Spiess um und sagt:
heisst differenzierbar in genau dann, wenn es eine lineare Funktion gibt und eine Funktion mit so, dass
.
heisst dann (totales) Differential von in und man schreibt .

Man kann es auch so sehen: entfernt man sich von um , dann ist [also der Tangentenwert an der Stelle ] eine Annäherung an . Der Fehler den man bei der Annäherung macht ist genau

Lass dir das so mal durch den Kopf gehen und schau dann nochmal das an was ich in meinem vorigen Beitrag schrieb. Du wirst sehen dass alles genau gleich ist Augenzwinkern .

Mal ein Beispiel:
definiert durch .
.
Man sieht, dass und der zweite Summand ist linear in . Für den dritten Summand ist
.
Deshalb ist und bzw und bemerke, dass .

Und genau den gleichen Weg kann man nun für deine ursprüngliche Funktion machen, mit fest und :


Man sieht schonmal , also

Nun sammeln nach linear in und dem Rest:

Du siehst dass ein geeigneter Rest ist [wieso?]. Ausserdem ist
mit linear in

Also ist das Differential


Um es direkt berechnen zu können muss man beweisen, dass die "Koeffizienten" im Differential gerade die partiellen Ableitungen sind.


In dem Fall gibt es in der Musterlösung irgendwo einen Wurm.
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
und hab auch keine ahnung, wie die diese funktion in "Lösung b)" nach x ableiten mit delta x multiplizieren und dann 2xdx rausbekommen und nicht 2(x+y)dx ....


Das verstehen wir auch nicht, denn hier ist der Lösungshinweis falsch. Die Überschrift zur Aufgabe ist auch schon ziemlich daneben, solche Anspielungen passen nicht in eine Übung geschockt .

Grüße Abakus smile
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Was ist eine einfache Funktion? Klar, eine linare Funktion !
Wie könnte man es annähern? Klar, versuche eine Tangente zu legen [Skizze machen!].
Geht das immer?


Mal ein Beispiel:
definiert durch .
.
Man sieht, dass und der zweite Summand ist linear in . Für den dritten Summand ist
.
Deshalb ist und bzw und bemerke, dass .

Und genau den gleichen Weg kann man nun für deine ursprüngliche Funktion machen, mit fest und :


Man sieht schonmal , also

Nun sammeln nach linear in und dem Rest:


Du siehst dass ein geeigneter Rest ist [wieso?]. Ausserdem ist
mit linear in

Also ist das Differential


Um es direkt berechnen zu können muss man beweisen, dass die "Koeffizienten" im Differential gerade die partiellen Ableitungen sind.


In dem Fall gibt es in der Musterlösung irgendwo einen Wurm.


Du hattest ein paar verständnisfragen gestellt. Ich versuch sie aufzugreifen:

Geht das immer?
Also man kann nur die Tangente anlegen, wenn die Funktion stetig ist, dh. keine Sprünge oder Definitionslücken hat.

ie ich das jetzt so verstanden habe:

die Matrix A *h (oder lineare funktion genannt l(h)) muss ja dann der Gradient sein ... in diesem Beispiel sind die "Ableitungen" linear und daher muss dieser Term auch linear sein, da es eben die Steigungen in bestimmt Richtungen anzeigt (Gradient eben).

[wieso?]
Wie man das Restglied betimmt, weiß ich noch nicht 100% bei jeder Aufgabe, aber in diesem Beispiel kommen einfach alle Funktionswerte höherer Ordnung rein.

_______
Wenn ich jetzt die Aufgabe mal ausrechne und ((x+h)+(y+h))² einsetze, bekomme ich genau diese "Dreigliedentwicklungsgleichung" raus , wie wenn ich nach Taylor entwickelt hätte?

und jetzt kann ich doch dann den "linearen" Teil rausnehmen und sagen, dass es der Gradient ist, den ich gerade suche:

Wenn ich aber pratiell ableite nach x und y, und dabei nicht die Zusätze hx und hy benutze bekomme ich raus:

und diese 2 Teile , die ich im Latex gemacht habe, sollen eigentlich dann das gleiche sein?
Also hab mal was gelesen davon, dass immer abgeleitet wird mit dem geschwindigkeitsvektor 1, ich kanns aber garnicht mehr so richtig zuordnen. Aber dann wär das doch sozusagen ein Einheitsvektor und es WÄRE dann tatsächlich das gleiche? Oder was meist du?
Ich hoffe, ich hab das jetzt richtig gerafft/gemacht, hast das nämlich voll gut erklärt eigentlich Augenzwinkern . Danke!!!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Die Überschrift zur Aufgabe ist auch schon ziemlich daneben, solche Anspielungen passen nicht in eine Übung geschockt .


Das sehe ich anders. Wieso sollte alles so stocksteif sein, dass jeder denkt: "Ja, das ist halt Mathe."? Nein, ich finde es sogar gut, wenn ein paar witzige Einwürfe gemacht werden. Zudem verstehe ich nicht, was hier eine Anspielung sein soll. Auf was soll denn hier deiner Meinung nach angespielt werden?
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Die Überschrift zur Aufgabe ist auch schon ziemlich daneben, solche Anspielungen passen nicht in eine Übung geschockt


Gehört zwar garnicht zum Thema, aber: Jaaaaaa, ich will das totale Differential ^^
Eigentlich nicht, aber ich brauch es Augenzwinkern
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
Geht das immer?
Also man kann nur die Tangente anlegen, wenn die Funktion stetig ist, dh. keine Sprünge oder Definitionslücken hat.


Das war nicht einmal so sehr als Verständnisfrage gemeint. Vielmehr kann man eine solche Entwicklung (die sogenannte Dreigliedentwicklung)

wirklich immer schreiben, nur geht dann zb. der Rest nicht schön gegen Null wenn die Funktion nicht differenzierbar an ist.



Zitat:
Original von rappozappo
ie ich das jetzt so verstanden habe:

die Matrix A *h (oder lineare funktion genannt l(h)) muss ja dann der Gradient sein


Das ist genau richtig Freude , in deinem Fall ist das Differential genau der Gradient. Beachte:
Der Gradient ist ein (Zeilen-)Vektor, also eine (nx1)-Matrix, genau wie es in der von mir angegebenen Definition der Differenzierbarkeit gefordert wurde.
Und jede Matrix ist linear.

Zitat:
Original von rappozappo
[wieso?]
Wie man das Restglied betimmt, weiß ich noch nicht 100% bei jeder Aufgabe, aber in diesem Beispiel kommen einfach alle Funktionswerte höherer Ordnung rein.


Ein Allgemeines Verfahren ist:
Packe da einfach alles rein was mit "" (bzw. eines der Komponenten davon) zu tun hat und Potenz grössergleich 2 hat, denn dann ist stets die Forderung

erfüllt.

Zitat:
Original von rappozappo
Wenn ich jetzt die Aufgabe mal ausrechne und ((x+h)+(y+h))² einsetze, bekomme ich genau diese "Dreigliedentwicklungsgleichung" raus , wie wenn ich nach Taylor entwickelt hätte?


Ja, die Dreigleidentwicklung ist genau die Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung.
Der Unterschied ist wie folgt:
Für die Taylorentwicklung muss man voraussetzen, dass die Funktion differenzierbar ist. Oben habe ich schon angedeutet, dass die Dreigliedentwicklung dagegen immer existiert. Und wenn sie zudem noch "schön" ist [also der Rest geht anständig nach Null] war die Funktion differenzierbar im betrachteten Punkt.
Deshalb kann man die Dreigliedentwicklung auch zur Definition der Differenzierbarkeit nutzen.

Zitat:
Original von rappozappo
und jetzt kann ich doch dann den "linearen" Teil rausnehmen und sagen, dass es der Gradient ist, den ich gerade suche


Der lineare Teil ist genau das Differential mit eingesetzt. In deinem Fall ist es der Gradient, also es steht da eigentlich

wobei der Malpunkt hier das Skalarprodukt andeutet.


Zitat:
Original von rappozappo


Wenn ich aber pratiell ableite nach x und y, und dabei nicht die Zusätze hx und hy benutze bekomme ich raus:


Das ist unverständlich für mich.
Was ist denn nun und ?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Wieso sollte alles so stocksteif sein, dass jeder denkt: "Ja, das ist halt Mathe."? Nein, ich finde es sogar gut, wenn ein paar witzige Einwürfe gemacht werden. Zudem verstehe ich nicht, was hier eine Anspielung sein soll. Auf was soll denn hier deiner Meinung nach angespielt werden?


Bloß nicht stocksteif. Die Überschrift auf dem Aufgabenzettel hier klingt jedoch wie eine Analogie zur "Sportpalastrede". Nach meinem Geschmack dann lieber einen Cartoon.

Grüße Abakus smile
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von rappozappo


Wenn ich aber pratiell ableite nach x und y, und dabei nicht die Zusätze hx und hy benutze bekomme ich raus:


Das ist unverständlich für mich.
Was ist denn nun und ?


Sorry! Du hattest das anders genannt:


mit



Und ich hatte dann gemeint, der Gradient ist der Vektor: (also hx =h1 und hy=h2)
Also der Gradient ist eigentlich nur das "A" ... was das h1 und h2 jetzt ist, hab ich auch noch nicht gecheckt. Du hattest gemeint, der "Malpunkt h" deutet das Skalarprodukt an? Mit dem Skalarprodukt berechnet man ja den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
KÖNNTE es sein, dass, wenn man halt mit dem Skalarprodukt rechnet und das "h1 * die x-Komponente der ersten Komponente des Gradienten" was ergibt und "h1 * die y-Komponente der ersten Komponente des Gradienten" =0 ergibt ... und daher auch z.B. in der ersten-Komponente des Gradienten nur das x steht? und das "+y" weggelassen wird, da y*h1=0 (wegen dem Skalarprodukt steht es ja senkrecht aufeinander und ergibt =0 ?)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Bloß nicht stocksteif. Die Überschrift auf dem Aufgabenzettel hier klingt jedoch wie eine Analogie zur "Sportpalastrede". Nach meinem Geschmack dann lieber einen Cartoon.


Dann verbieten wir am besten jede Kombination eines Wortes, das "total", "Sport", "Palast" oder "Rede" enthält und natürlich sperren wir alle Leute ein, deren Initialien A.H. oder, zur o.g. Rede passender, J.G. lauten ... Tanzen

Sorry - aber wer nach Nazi-Analogien sucht, der findet sie immer. Egal wo. Ich glaube nicht, dass diese Anspielung gewollt war.

air
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
Und ich hatte dann gemeint, der Gradient ist der Vektor: (also hx =h1 und hy=h2)
Also der Gradient ist eigentlich nur das "A" ...


Genau, der Gradient ist bloss die lineare Abbildung . Und da man bekanntlich eine lineare Abbildung durch eine Matrix ausdrücken kann, wird daraus eben eine (nx1)-Matrix, also ein Zeilenvektor:


Zitat:
Original von rappozappo
was das h1 und h2 jetzt ist, hab ich auch noch nicht gecheckt.


Das sind die Komponenten des Vektors , also .

Zitat:
Original von rappozappo
Du hattest gemeint, der "Malpunkt h" deutet das Skalarprodukt an?


Ja, der Malpunkt soll für das Skalarprodukt stehen.
Im Folgenden denkst du viel viel zu kompliziert Augenzwinkern .
Angenommen, wir haben eine Summe die so aussieht:

Nehmen wir nun den Vektor und den Vektor und berechnen wir mal das Skalarprodukt


Voilà, das Skalarprodukt ist also auch eine bequeme Art eine lange Summe von dem obigen Typ zu schreiben.
Nun schau nochmal was wir hatten:

und das ist genau wieder solch eine Summe !
Also spricht nichts dagegen diese als

zu schreiben, wie ich das oben gemacht habe.

Das ist einfach übersichtlicher und ausserdem:
Der Gradient variiert nicht mehr wenn wir uns für eine feste Stelle entschieden haben, das Variable liegt ja schliesslich hier im , welches angibt wie weit wir uns von unserem "Bezugspunkt" entfernt haben [und die Funktion approximieren müssen].
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaaaaah .... jetzt hab ichs total verstanden, danke!!!!!!!
Du solltest Professor werden, kannst voll gut erklären und so ;P

PS: WIR sidn das deutsche Volk und WIR wollte das totale Differential ... jetzt haben wir es ...totaler, als es sich manche von uns vorstellen konnten .... oh, jetzt bin ich aber ein Naziführer ,was?^^
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Abakus: Ja, du hast recht. Es ist schon grenzwertig. Mit sowas sollte man aufpassen.
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Also nur so zur Info: Wir sind eTechniker und keine Geschichtsphilosophen. Und ich hab keinen inzigen Kommentar dazu gehört in der Uni !

Ich mein wenn man sich schon den Gedanken macht: Was soll das denn für ne Anspielung sein? "Wollt ihr den totalen Keieg?" von Goebbels oder kA. wem ... und "wollt ihr das totale Differential?" von unserer Uni ...
also die Feinde von uns sagen ja, dass wir es nicht wollen ... nicht können und kapitulieren sollen. Die Klugen aber von uns sagen, dass wir es total wollen und am Ende triumphieren. Triumphieren vor allen anderen mit guten Noten und später ner guten Stellung VOR unseren Feindn/Null-Bock-Sagern.

Wenn wir es total wollen ... was hat es für einen Nachteil? Also warum Grenzwertig, oder Unpassend?
Wenn der Lösungsmacher schon darauf angespielt hat, war es nciht eigentlich trotzdem richtig?
Oder könnte man es auch irgendwie böswillig interpretieren? Nach dem Motto: Er hat Nazi-Worte benutzt ... er meints auch so ?verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
Oder könnte man es auch irgendwie böswillig interpretieren? Nach dem Motto: Er hat Nazi-Worte benutzt ... er meints auch so ?verwirrt


Nein. Es ist nur grenzwertig, eine gar nicht so lustige Sache in ein lustiges Licht zu stellen.

Ich könnte mir vorstellen, dass einige Menschen mit sowas ein Problem haben. Ich persönlich finde es einfach nur unpassend (nachdem ich es gerafft habe Augenzwinkern ).
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