Funktion maximieren

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31.07.2009, 22:40	kleinemo	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion maximieren Hallo! Bin ein Mathe-nixblix und rechne schon seit eineinhalb Std. an was total lächerlichem rum: Nutzenfunktion $\begin{eqnarray} U=\sqrt{xAxB} \end{eqnarray}$ die möchte ich maximieren, also 1. Ableitung Null setzen, richtig? Hab ich gemacht, kommt folgendes bei mir raus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} (xAxB)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Mit der Nebenbedingung 2xA+xB=40 will ich jetzt mein xA und xB bestimmen, aber ich krieg's nicht hin schäm! Löse ich die Nebenbed. nach xB auf, sieht das so aus: xB=40-2xA und das wollte ich jetzt in die Nullgesetzte 1. Abl. einsetzen... da scheitert's dann beim rumrechnen. Kann mir jemand bissl helfen? Und mir vielleicht auch sagen, wie das überhaupt mathematisch heißt, was ich da machen will, weil ich kann schlecht nach was suchen, was ich nicht benennen kann (in der boardsuche z.B.) DANKE schonmal! Edit (mY+): Hilferufe im Titel sind unerwünscht! Entfernt.
31.07.2009, 23:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Funktion in der Hauptbedingung erst dann ableiten, wenn du zuerst eine Variable aus der Nebenbedingung berechnet und in die Funktion - welche ja noch zwei Variable hat - eingesetzt hast. Dann liegt die Funktion letztendlich in einer Variablen vor. Nach dieser nun ableiten und Null setzen! Mit der 2. Ableitung noch auf Existenz des Maximums prüfen! Führe auch noch eine Vereinfachung der Ansatzfunktion durch! Anstatt der Wurzelfunktion kann man auch deren Quadrat maximieren, wenn man die Nullstellen der Funktion ausschließt. mY+ Extremwertberechnungen gehören in den Fachbereich Analysis, daher wurde der * Thread verschoben *
01.08.2009, 01:50	kleinemo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Hab's jetzt also so probiert: aus der Nebenbedingung xB eingesetzt in die Funktion: $\begin{eqnarray} U=\sqrt{xA(40-2xA)} = (40xA-2xA^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ 1. Abl. (ist glaub ich schon falsch, oder?) $\begin{eqnarray} U'=\frac{1}{2} (40-4xA)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ sollte das doch stimmen, kann ich das $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ in die Klammer ziehen? und wie bekomme ich dann das $\begin{eqnarray} ^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ weg?? Ich weiß. das müsste ich eigentlich alles können... ich wäre für einen Tipp dankbar! PS: Das mit dem Doppelpost war keine Absicht. Habe bemerkt, dass es nicht so ganz in Stochastik passt und deswegen in Analysis gestellt. Konnte dann aber nicht rausfinden, wie ich den Beitrag in Stochastik löschen kann... Tschuldigung. Und das die Überschriften bestimmten Formulierungsregeln unterliegen... --> sorry
01.08.2009, 02:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du differenzierst zwar richtig nach der Potenzregel, vergisst aber auf die innere Ableitung (Kettenregel). Und nachdem du ja U' = 0 setzen musst, ist das Hineinziehen des Faktors in die Klammer kontraproduktiv. Warum nützt du nicht den Tipp mit der Ableitung des Quadrates der Funktion? mY+
01.08.2009, 03:00	kleinemo	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm. versteh's nicht... "Führe auch noch eine Vereinfachung der Ansatzfunktion durch! Anstatt der Wurzelfunktion kann man auch deren Quadrat maximieren, wenn man die Nullstellen der Funktion ausschließt." da kann ich nicht viel mit anfangen... bitte ein beispiel?! oder besser anhand meines beispiels ;-) 1. Abl. mit Kettenregel also $\begin{eqnarray} U'=\frac{1}{2} (40-4xA)^{-\frac{1}{2}} (40-4xA) \end{eqnarray}$ Stimmt's jetzt? nee... Ich muss doch das in der Klammer einfach nachdifferenzieren, aber dann hab ich das ja zwei mal abgeleitet..?? Hätte ich es dann nicht in der ersten Klammer "original" lassen müssen, also $\begin{eqnarray} U'=\frac{1}{2} (40xA-2xA^{2})^{-\frac{1}{2}} (40-4xA) \end{eqnarray}$ weil (g°f)'(x)=g'(f(x))*f'(x) oder?? Ich rechne an der Sache morgen weiter. Gute Nacht! Aber wie gesagt, Beispiele könnten mich vielleicht drauf bringen, wie es geht. VIELEN DANK FÜR DIE HILFE, auch wenn ich's immer noch nicht verstehe!
01.08.2009, 03:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung in der letzten Zeile ist richtig. Du musst natürlich nicht die Vereinfachung verwenden, wenn du es kompliziert haben willst , Hauptsache, es ist richtig. [Ich kann es mir denken, das Quadrieren kommt dir nicht geheuer vor] Dennoch ist $\begin{eqnarray} 40x - 2x^2 \end{eqnarray}$ doch leichter abzuleiten und hat an derselben Stelle das Extremum wie die Wurzelfunktion. So. Nun die Ableitung Null setzen! Was kommt? mY+
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01.08.2009, 03:41	kleinemo	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaaah, einfacher ist das, stimmt! ;-) also ich bin mir mit dem quadrieren wirklich nicht sicher... klar, mein $\begin{eqnarray} ^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ bzw. die Wurzel ist dann weg, aber kann ich das einfach so machen?? oder ist das weil ich die Ableitung dann Null setze?! hmmm...? ich verstehe wirklich nicht, warum ich einfach meine Wurzel wegkürzen darf in der Nutzenfunktion... dann hätte sie doch gar nicht da stehen brauchen... $\begin{eqnarray} 40x - 2x^2 \end{eqnarray}$ Ableitung 40-4x Null gesetzt, ergibt x=10 cool, aber wie gesagt, ich weiß nicht, wieso ich die Wurzel am Anfang einfach rausschmeißen darf... jetzt aber: Gute Nacht! Jeder Mensch braucht seinen Schlaf
01.08.2009, 13:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachung der Ansatzfunktion Die Gültigkeit dieser Vereinfachung kann man leicht nachweisen: Die Extrema der Funktion $\begin{eqnarray} \sqrt{f(x)} \end{eqnarray}$ seien zu bestimmen; dazu setzen wir deren 1. Ableitung Null. $\begin{eqnarray} \sqrt{f(x)} \ ' = \frac{f \ '(x)}{2 \sqrt{f(x)}} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Vorauss.: }\sqrt{f(x)} \neq 0 \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \ '(x) = 0 \end{eqnarray}$ ========= Somit kann man die Ableitung des Radikanden Null setzen. *Auf Extrema, die (zufällig) in Nullstellen der Funktion liegen, muss daher verzichtet werden. mY+
01.08.2009, 18:33	kleinemo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinfachung der Ansatzfunktion Okay, das konnte ich nachvollziehen. Kann man das immer machen? Oder wie kann ich voraussetzen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{f(x)} \neq 0 \end{eqnarray}$ Woher weiß ich das? Und was ist, falls doch ein Extrema auf eine Nullstelle fällt? Dann geht's nicht mehr? Weil: die Vereinfachung ist toll!! Macht mir alles viel verständlicher. Aber kann ich in einer Aufgabe einfach davon ausgehen, dass die Funktion ungleich Null ist? Dann kann ich immer prima vereinfachen... ...und das Leben wär' gleich doppelt so schön! Spaß beiseite, gibt es denn eine Regel, die mir sagt, wann ich vereinfachen darf und wann nicht?
02.08.2009, 15:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die beschriebene Weise kann immer vereinfacht werden. Es kommen lediglich Extrema, die gleichzeitig Nullstellen der Funktion sind, deshalb nicht in Betracht, weil dann der Nenner der Ableitung der Wurzel Null ist. Mit anderen Worten, Nullstellen des Radikanden können aus diesem Grund nicht Extremstellen sein, obgleich sie bei der vereinfachten Funktion als solche ausgegeben werden könnten. Man kann also - um ganz sicher zu gehen - die erhaltenen Extremwerte daraufhin überprüfen, ob sie nicht auch Nullstellen des Radikanden sind. Allerdings kommt dies in der Praxis so gut wie nie vor. In diesem Beispiel: x = 10 ist nicht Nullstelle des Termes unter der Wurzel. Die Vereinfachung liefert somit einen gültigen Extremwert. mY+
02.08.2009, 20:00	kleinemo	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE!! Werd's mir hoffentlich für immer in mein Hirn brennen und nie mehr vergessen, damit ich nie wieder so doofe Fragen fragen muss! Guter Lehrer, mYthos, weiter so! ;-) Ein dankbarer Mensch mehr auf dieser Welt!

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