Riemann'sche Summe

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earthie Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann'sche Summe


Ich versuche nachzuvollziehen, wie man die linke in die rechte Seite der Gleichung überführt. Es geht ja darum, eine Riemann'sche Summe zu bilden.

Ich wäre froh, wenn mir jemand noch einen Zwischenschritt, bzw. Anleitung zur Selbsthilfe geben könnte, denn das Prinzip der Riemann'schen Summe und des Integrals ist mir eigentlich klar.

Danke für die Hilfe
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir



klar ist, sollte es eigentlich kein Problem darstellen, 1/n auf der linken Seite vor die Summe zu ziehen und das dann zu interpretieren Augenzwinkern

air
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine Anschlussfrage:

kann ich 1/n auch beliebig substituieren mit einer Funktion g(n), die den limes 0 hat?

also:



für und g(n)>0 für alle n

Gruss earthie
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt eine Angabe über . Ich vermute, daß vorausgesetzt ist. Stimmt das? Denn dann ist im Intervall definiert und streng monoton wachsend mit . Folglich ist



eine Obersumme des Integrals. Ihr liegt die Aufteilung von in gleich große Teilintervalle zugrunde. Daher hat jedes Teilintervall dieselbe Breite . Und nun wird jedem Teilintervall der Funktionswert an seiner oberen Grenze zugewiesen (das ist in jedem Teilintervall der größte Funktionswert, da streng monoton wächst):











Diese Funktionswerte sind die Rechteckshöhen. Multipliziert mit der Rechtecksbreite bekommt man den Flächeninhalt der Rechtecke. Und alles aufsummiert ergibt eine Obersumme des Integrals:



ZUM VERSTÄNDNIS DIESER ZUSAMMENHÄNGE SOLLTEST DU DIR UNBEDINGT EINE SKIZZE MACHEN.

Und dann sage, welche geometrische Bedeutung dein in diesem Zusammenhang haben soll. Und wenn du diese Frage nicht sinnvoll beantworten kannst, liegt das vielleicht daran, daß dieses nicht in das Konzept der aufsummierten Rechtecke paßt. Die Gesamtbreite aller Teilintervalle muß ja die Intervallbreite von , also 1 ergeben.
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Erklärungen.

code:
1:
Ich vermute, daß 0 < x < 1 vorausgesetzt ist. Stimmt das? 

ursprünglich geht es um eine Funktionenfolge fn(x): (-1,1)->R, die gegen eine Funktion f konvergiert

code:
1:
Und dann sage, welche geometrische Bedeutung dein g(n) in diesem Zusammenhang haben soll.

Genau wie du illustriert hast, soll dn:=g(n) die Rechtecksbreite darstellen

=>

die Anforderungen die ich an dn stellen würde wären wie schon gesagt: Limes geht für n->inf gegen 0 und ist dn>0 für alle n
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
Die Gesamtbreite aller Teilintervalle muß ja die Intervallbreite von I, also 1 ergeben. 


Du hast recht. Würde die Gleichung dann mit folgender Korrektur stimmen?



edit:
und stimmt diese formel auch für n*dn->?
 
 
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

kann das jemand bestätigen oder widerlegen? Hilfe
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wieso definierst du noch einmal neu?

Willst du mit eine äquidistante Zerlegung haben oder ist diese abhängig von ?

Was eben gelten muss ist:



d.h. die k-ten Stützstellen müssen aus den k-ten Teilintervallen kommen.

ich bin mir fast sicher, dass das nicht für beliebige , mit der Eigenschaft, wie du Sie voraussetzt, funktioniert.

Außerdem ist die Schreibweise bei der oberen Grenze des Integrals unglücklich gewählt, da du ja mit n gegen unendlich gehst, also eine Grenzwertbetrachtung durchführst, die hier formal nicht zu erkennen ist.

Gruß
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Romaxx,

dn ist nur ein Alias, das intuitiv sagen soll, dass es sich bei g(n) um die Rechtecksbreite der Riemann-Summe handelt, welche unabhängig von k ist.

und wenn ich die Gleichung für ein konstantes n betrachte, spricht ja nichts gegen eine Grenze n*g(n), denn diese würde man auch mithilfe einer Skizze der Riemann-Summe empirisch ermitteln. Die Frage ist eben das Verhalten für n->inf.

Vielleicht liege ich auch ganz falsch smile
was meint ihr dazu?


edit: vielleicht nochmal zur Wiederholung: Voraussetzung ist natürlich, dass g(n)->0 geht für n->inf., d.h. es kann evtl. als Spezialfall vorausgesetzt werden, dass lim(n->inf) von n*g(n)
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
und wenn ich die Gleichung für ein konstantes n betrachte, spricht ja nichts gegen eine Grenze n*g(n), denn diese würde man auch mithilfe einer Skizze der Riemann-Summe empirisch ermitteln. Die Frage ist eben das Verhalten für n->inf.


und über dem Integral hängen beide von dem n auf der anderen Seite der Gleichung ab. Da dort eine Grenzwertbetrachtung für n durchgeührt wird, geschieht das auch auf der anderen Seite, das ist nunmal so.

Es ist falsch zu schreiben:




Mittlerweile stimme ich mit Dir überein, das an dieser Identität für endliche Grenzwerte etwas dran ist.

Dennoch würde ich es so schreiben:




Ob es für gilt, kann ich dir nicht sagen.

Grüße
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das is mir ja alles auch klar, stimme dir zu limes fehlt natürlich auf der rechten Seite.

hab ich etwas schlampig aufgeschrieben. Augenzwinkern

ja da is was dran und wäre meiner Meinung nach eine hübsche Identität, aber die Zeit fehlt mir momentan in der Prüfungssession für einen formalen Beweis, müsste wohl ähnlich gehen, wie beim Riemann Integral.

Gruss earthie
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