Monotonie einer Folge

01.08.2009, 12:05

Tarsuinn

Monotonie einer Folge

Hi, ich möchte die Monotonie folgender Folge per Induktion beweisen, durch einsetzen kam ich zu der Annahme das die Folge monoton fallend ist, also an>an+1

Im Induktionsschritt möchte ich nun zeigen das auch an+1>an+2 ist, wie geht man da bei Folgen ran, bei Funktionen kann man ja das nte Glied abspalten und an die Originalfunktion anhängen um dann damit weiter zu rechnen. Geht das bei Folgen auch?

$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{1} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{n+1}= \frac{3\left[x\right]_{n}-1}{\left[x\right]_{n}} \end{eqnarray*}$

Die Eckigenklammern haben nix zu bedeuten Augenzwinkern

Zu zeigen wäre ja das:

$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{n+1}>\left[x\right]_{n+2} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

MfG

01.08.2009, 12:59

Zizou66

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Wenn die Klammern nix zu bedeuten haben, kann man sie doch weglassen, dann stiften sie auch keine Verwirrung.

$\begin{eqnarray*} x_{n+2}=\frac{3x_{n+1}-1}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt du in die von dir schon gepostete Ungleichung ein. Und dann musst du ein bisschen umformen. Zeig mal wie weit du kommst.

01.08.2009, 12:59

Bjoern1982

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2 Antworten folgen sogleich Augenzwinkern

01.08.2009, 13:15

Abakus

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RE: Monotonie einer Folge

Zitat:

Original von Tarsuinn
Im Induktionsschritt möchte ich nun zeigen das auch an+1>an+2 ist, wie geht man da bei Folgen ran, bei Funktionen kann man ja das nte Glied abspalten und an die Originalfunktion anhängen um dann damit weiter zu rechnen. Geht das bei Folgen auch?

Bei Folgen spricht man von (Folgen-) Gliedern usw., bei Funktionen gibt es das nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{1} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{n+1}= \frac{3\left[x\right]_{n}-1}{\left[x\right]_{n}} \end{eqnarray*}$

Die Eckigenklammern haben nix zu bedeuten Augenzwinkern

Die Klammern sehen aus wie die Gaußklammer. Wenn die nicht gemeint sein soll, weglassen!

Zitat:

Zu zeigen wäre ja das: $\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{n+1}>\left[x\right]_{n+2} \end{eqnarray*}$

Ja, einfach mal losrechnen und nachschauen. Ggf. weitere Bedingungen siehst du dann schon.

Grüße Abakus smile

edit: ja, 2 waren viel schneller Augenzwinkern

01.08.2009, 13:46

Tarsuinn

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Ok also versuche ich mich mal an:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}>\frac{\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}-1}{\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}} \end{eqnarray*}$

Werde heute Abend mal meinen Fortschritt posten.

Danke erstmal, MFG

01.08.2009, 20:05

Tarsuinn

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Ok würde es so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}>\frac{\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}-1}{\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}})^2>\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}})^2>\frac{x_{n+1}-1-1*x_{n+1}}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x_{n+1}-1)^2}{x_{n+1}}>-1 \end{eqnarray*}$

So würde ich da argumentieren. Kann man das so machen?

01.08.2009, 20:26

Tarsuinn

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Ups mir fällt gerade auf das da die 3 fehlt geschockt

$\begin{eqnarray*} (\frac{3x_{n+1}-1}{x_{n+1}})^2>\frac{2x_{n+1}-1}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$

So sollte es passen und auch stimmen denn

$\begin{eqnarray*} \frac{3x_{n+1}-1}{x_{n+1}}>\frac{2x_{n+1}-1}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$

01.08.2009, 22:22

Abakus

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Zitat:

Original von Tarsuinn
$\begin{eqnarray*} (\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}})^2>\frac{x_{n+1}-1-1*x_{n+1}}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x_{n+1}-1)^2}{x_{n+1}}>-1 \end{eqnarray*}$

So würde ich da argumentieren. Kann man das so machen?

Den Schritt sehe ich nicht (von der 3 einmal abgesehen).

Du hast:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} \ge \frac{3 x_{n+1}-1}{x_{n+1}} \Leftrightarrow x_{n+1}^2 - 3 x_{n+1} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x_{n+1} \ge \frac 3 2 + \frac 1 2 \sqrt{5} \text{ oder }~ ... \end{eqnarray*}$

Hier ist dann zu begründen, wieso diese Bedingung erfüllt ist.

Grüße Abakus smile

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