Hilfe bei Erwartungswert: E(|X-E(X)|³)

21.09.2006, 15:35	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Erwartungswert: E(\|X-E(X)\|³) Hallo Leute! Ich habe folgendes Problem: Sei $\begin{eqnarray} X \in L^{2}(\Omega, {\tt A}, P) \end{eqnarray}$ * und $\begin{eqnarray} B_{1,p} \end{eqnarray}$ -verteilt*. Dann ist $\begin{eqnarray} E(\mid X-E(X)\mid ^{3}) = (1-p)p^{3}+p(1-p)^{3} \end{eqnarray}$ Leider habe ich keine Ahnung, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Der Raum der quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} L^{2}(\Omega, {\tt A}, P) = \{ X:\Omega \longrightarrow \mathbb{R} ~ \| \quad \int_{\Omega}^{}~X^{2}~dP < \infty \} \end{eqnarray}$ ** Das heißt binomialverteilt.
21.09.2006, 15:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Binomialverteilung $\begin{eqnarray} X \sim B_{1,p} \end{eqnarray}$ ist ja nur eine Zweipunktverteilung auf 0 und 1, vollständig beschreibbar durch die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(X=0)=1-p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X=1)=p \end{eqnarray}$ . Wie berechnet man nun $\begin{eqnarray} E(g(X)) \end{eqnarray}$ für eine diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und irgendeine Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ? Einfach durch $\begin{eqnarray} E(g(X)) = \sum\limits_{x} ~ g(x)\cdot P(X=x)\qquad () \end{eqnarray}$ , dabei wird über alle reellen Werte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ summiert, die $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ annehmen kann. In unserem Fall sind das nur die Werte x=0 und x=1, also erfolgt durch Einsetzen in () unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray} E(X)=1\cdot p = p \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E\left( \|X-E(X)\|^3 \right) = E\left( \|X-p\|^3 \right) = \|0-p\|^3 \cdot P(X=0) + \|1-p\|^3 \cdot P(X=1) = p^3 \cdot (1-p) + (1-p)^3 \cdot p \end{eqnarray}$ Alles klar?
21.09.2006, 16:06	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist einleuchtend. Dankeschön. Wenn die Zufallsvariable nur die Werte 0 und 1 annimmt, dann müsste doch eigentlich jede $\begin{eqnarray} B_{1,p} \end{eqnarray}$ -verteilte Zufallsvariable quadratisch integrierbar sein, oder? Dann wäre diese Bedingung doch überflüssig.
21.09.2006, 17:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du recht, es gilt sogar viel allgemeiner: Jede beschränkte Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ liegt in allen $\begin{eqnarray} L^m(\Omega, {\tt A}, P) \end{eqnarray}$ , d.h. für alle $\begin{eqnarray} m\geq 1 \end{eqnarray}$ . Darunter sind natürlich auch alle diskreten Zufallsgrößen mit nur endlichem Wertebereich, wie z.B. $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ .

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