Konvergenz von Reihen

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Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Hallo,

ich wiederhole gerade einige Themen und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie für die Potenzreihen

[((-2)^n)*x^n]:[n+1] und [1*x^(2*n)]:[(4^n)*((n+1)^2)]

die Konvergenzradien und das Konvergenzverhalten (absolut, bedingt, divergent) in den Randpunkten des Konvergenzintervalls.

Also für die Konvergenzradien habe ich zunächst das Quotientenkriterium angewendet und für die erste Summe R = 1/2 und für die zweite R = 4 herraus bekommen.

Jetzt soll ich ja die Randpunkte auf Konvergenz untersuchen. Als Randpunkte habe ich mir jeweils +-R der Summen überlegt, nur leider weiß ich nicht genau wie ich das untersuchen muss... Ich habe da an das Leibnitz Kriterium gedacht, aber ich weiß nicht, wie ich es hier anwenden soll.

Etwas Hilfe wäre sehr hilfreich! Danke schonmal.

mfg
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen
Zitat:
Original von Eddy2k
Bestimmen Sie für die Potenzreihen

[((-2)^n)*x^n]:[n+1] und [1*x^(2*n)]:[(4^n)*((n+1)^2)]

die Konvergenzradien und das Konvergenzverhalten (absolut, bedingt, divergent) in den Randpunkten des Konvergenzintervalls.

Es geht also um die Reihen:

a)

und

b)

??
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, so ist es. Tut mir Leid, dass ich so spät antworte, ich war bis gerade weg.

Aber diese Reihen bereiten mir Probleme Augenzwinkern

mfg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Konvergenzradien sind richtig. Leibnitzkriterium für x = 1/2 hört sich doch schonmal nicht schlecht an. Was ist da nun genau dein Problem? Wie sieht denn die Reihe für x = 1/2 aus? Was bekommst du für x = -1/2?
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist nur, dass ich das Vorgehen nicht mehr genau behersche... Muss ich jetzt für x = 1/2 bzw -1/2 einetzen und dann den Limes dieses Termes bilden? Wenn, was verrät mir das Ergebnis? Wir haben zwar ein Skript, aber das ist so unverstädnlich und wir hatten das Thema ganz am Anfang des Semesters...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Muss ich jetzt für x = 1/2 bzw -1/2 einetzen

Ja.

Zitat:
Original von Eddy2k
und dann den Limes dieses Termes bilden?

Es würde reichen, wenn du etwas über das Konvergenzverhalten sagen kannst.
 
 
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei Aufgabe a bekomme ich nach einsetzen für +-4 jeweils 8/(n+1) heraus.
Für n gegen unendlich geht diese Reihe somit gegen 0 und ist absolut konvergent?

Bei Aufgabe b) erhalte ich für +-1/2 einen Vorzeichenwechsel.

Für +-1/2 bekomme ich (-1)^n/(n+1) und somit einen Vorzeichenwechsel => Divergent ?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Also bei Aufgabe a bekomme ich nach einsetzen für +-4 jeweils 8/(n+1) heraus.

Der Konvergenzradius war doch da 1/2, oder?

Zitat:
Original von Eddy2k
Für n gegen unendlich geht diese Reihe somit gegen 0 und ist absolut konvergent?

Du verwechselst da die Reihe und die Folge der Summanden.

Zitat:
Original von Eddy2k
Bei Aufgabe b) erhalte ich für +-1/2 einen Vorzeichenwechsel.

Da war "dein" Konvergenzradius 4, was aber falsch ist.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Radien schon richtig eingesetzt, habe mich nur beim schreiben mit a und b verwechselt...

Also das ist der einzige Lösungsweg, der mir einfällt, ansonsten wüsste ich nicht, was ich tun soll. Das Thema liegt mir einfach nicht ...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir doch einfach mal das Leibnitzkriterium an. Für die Fälle, in denen du einen "Vorzeichenwechsel" erhältst (man sagt, die Reihe alterniere), musst du dort nur einsetzen. Das sollte ein Hochschüler IMHO können.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Ich habe die Radien schon richtig eingesetzt, habe mich nur beim schreiben mit a und b verwechselt...

Dennoch bleibe ich dabei, daß du bei der 2. Aufgabe für den Konvergenzradius ein falsches Ergebnis hast.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß auch, dass ich das können sollte, aber dieses Thema ist einfach zum kot***.

Bei der Aufgabe a habe ich für x +-1/2 eingesetzt, und ich bekomme jeweils ((-1)^n)/(n+1) herraus. Also wechselt die Reihe immer zwischen positiv und negativ, sodass ich sagen würde, dass diese Reihe nicht konvergiert.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Also wechselt die Reihe immer zwischen positiv und negativ, sodass ich sagen würde, dass diese Reihe nicht konvergiert.


Du hast dir also nicht das Leibnitzkriterium angeschaut... Schade.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das Leibnitz Kriterium schon 200000 mal gesehen, aber wennn man es nicht versteht hilft es einem auch nich weiter, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Wie sieht denn die Reihe aus, wenn du -1/2 einsetzt? Bitte benutze für die Darstellung den Formeleditor.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »



Bei dem -1/2 fehlen die Klammern, das habe ich nicht hinbekommen.
Das n umfasst also den ganzen Bruch.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

So geht das:

Zitiere meinen Beitrag, um zu sehen, wie ich das gemacht habe. Noch schöner ist



Kürze nun so weit wie möglich.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht ganz sicher, ob das stimmt:



=
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und was ist
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Am ende Steht dann da



Ich kann aber nicht sagen, was für eine Zahl sich dahinter verbirgt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Aus einer unendlichen Reihe ist jetzt eine endliche mit falschem Index geworden.

Richtig ist also:

Du mußt nun schauen, ob diese Reihe für n gegen unendlich konvergiert oder eben nicht. Denke dazu mal an die harmonische Reihe.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Schonmal was von der "harmonischen Reihe" gehört?
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich, aber diese ist mir auch schleierhaft, wie gesagt diese Reihenentwicklung kann ich nur schwer begreifen.

Wie man hier dann weiter vorgeht wüsste ich nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib doch mal die harmonische Reihe hin und vergleiche das mit deiner. Was fällt auf?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Ja das habe ich, aber diese ist mir auch schleierhaft, wie gesagt diese Reihenentwicklung kann ich nur schwer begreifen.


Was hier nur wicchtig ist: die harmonische Reihe divergiert. Mehr brauchst du nicht.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Heisst also, dass diese Aufgabe damit gelöst wäre.

Für die Aufgabe b müsste ich dann meinen Radius 4 einsetzen, dann nochmal mit dem Quotientenkriterium arbeiten und schauen ob am Ende ein Wert <1 raus kommt, sodass die Reihe konvergiert? Wäre das richtig?

Edit: Zu Aufgabe a, ich habe ja + R/2 nicht betrachtet, ich würde spontan sagen, dass dann im Zähler (-1)^n steht. Was bedeutet das dann ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Heisst also, dass diese Aufgabe damit gelöst wäre.


Wieso das?


Zitat:
Original von Eddy2k
Für die Aufgabe b müsste ich dann meinen Radius 4 einsetzen, dann nochmal mit dem Quotientenkriterium arbeiten und schauen ob am Ende ein Wert <1 raus kommt, sodass die Reihe konvergiert? Wäre das richtig?


Das könntest du versuchen. Es wird dich aber zu keinem Ergebnis führen. Der Grenzwert wird 1 sein, und dann kann man keine Aussage machen. Mach es wie bei der ersten. Lass uns erstmal auf diese beschränken. Du tust dich schließlich schwer genug.


Zitat:
Original von Eddy2k
Edit: Zu Aufgabe a, ich habe ja + R/2 nicht betrachtet


R/2 ist 1/4... Du meinst wohl, dass du noch nicht x = 1/2 betrachtet hast. Das ist richtig.


Zitat:
Original von Eddy2k
ich würde spontan sagen, dass dann im Zähler (-1)^n steht. Was bedeutet das dann ?


Hier kannst du das Leibnitzkriterium anwenden. Wie lautet dieses?
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Leibnitz Kriterium muss eine Reige alternierend sein, eine Nullfolge sein und ein Monotonieverhalten erfüllen.

Alternierend ist sie, eine Nullfolge meiner Meinung nach nicht. Wie man die Monotonie zeigt, weiß ich nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
eine Nullfolge meiner Meinung nach nicht.

So? Dann schau dir nochmal genauer an.

Zitat:
Original von Eddy2k
Wie man die Monotonie zeigt, weiß ich nicht.

Du mußt zeigen, daß monoton fällt. Das sollte doch wohl kein Problem sein.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn ich n gegen uendlich geht dann geht der Term gegen 0, das ist wohl wahr.

Wie ich das mit der Monotonie zeige ist mir aber schleierhaft, diese Betragsstriche um den Term helfen mir dabei nicht. Ihr haltet mich sicher für den totalen Deppen, aber ich bin halt kein Profi in dem Gebiet und finde es noch ziemlich seltsam, deshalb will ich es ja verstehen ...
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn wie Monotonie von Zahlenfolgen definiert ist? Es ist immer ganz gut die Definition anzuwenden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
diese Betragsstriche um den Term helfen mir dabei nicht.

Die helfen sehr wohl, denn dann hast du nur noch da stehen.

Zitat:
Original von Eddy2k
Ihr haltet mich sicher für den totalen Deppen, aber ich bin halt kein Profi in dem Gebiet und finde es noch ziemlich seltsam, deshalb will ich es ja verstehen ...

Vielleicht sagst du ein paar Worte zu deinem schulischen Werdegang und wie es kommt, daß du dich mit höherer Mathe herumschlägst. Gerade im Hochschulbereich wird eine Menge an Schulwissen vorausgesetzt, daß du anscheinend nicht mitbringst.
Eddy2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab Abi gemacht und bin jetzt im 2. Semester Maschinenbau... Im 1. Semester hab ich mathe auch noch sehr gut geschrieben, aber dieses Thema macht mich einfach wahnsinnig.

Mir fehlen einfach die wichtigen Schritte, um diese Aufgaben zu lösen, ich weiß nicht genau worauf es immer ankommt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eddy2k
Ich hab Abi gemacht

Dann sollten dir Begriffe wie "Grenzwerte" von Folgen, insbesondere bei Brüchen mit Polynomen in Zähler und Nenner, sowie Monotonie von Folgen schon mal begegnet sein.

Zitat:
Original von Eddy2k
Mir fehlen einfach die wichtigen Schritte, um diese Aufgaben zu lösen, ich weiß nicht genau worauf es immer ankommt.

Im Moment kommt es darauf an, die verlangten Eigenschaften für das Leibnizkriterium nachzuweisen.
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