Erzeugende Elemente der Einheitengruppe

03.08.2009, 20:09	fluppdiwupp	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugende Elemente der Einheitengruppe Hi, wie berechne ich die Anzahl der erzeugenden Elemente einer Einheitengruppe ((Z/nZ), ) aus (Z/nZ, +, *)?
04.08.2009, 08:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du die Anzahl von Elementen, die man mindestens braucht, um die ganze Gruppe zu erzeugen, oder meinst du die Anzahl aller möglichen Elemente, die zyklische Erzeuger sind? Ich beantworte erstmal die zweite Frage: Diese Einheitengruppe hat natürlich nur dann zyklische Erzeuger, wenn sie überhaupt zyklisch ist. Dies ist genau für natürliche Zahlen der folgenden Gestalt so: $\begin{eqnarray} n=\begin{cases} 2 \\ 4 \\ p^k & p\text{ prim und }k\in\mathbb N \\ 2p^k & p\text{ prim und }k\in\mathbb N \end{cases} \end{eqnarray}$ . In diesen Fällen ist es eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} \varphi(n) \end{eqnarray}$ . Wie viele zyklische Erzeuger hat denn eine solche bekanntermaßen?

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