Newton-Raphson-Verfahren in Mehrdimensionalen

04.08.2009, 15:19	chilie	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Raphson-Verfahren in Mehrdimensionalen Hallo, ich bin gerade dabei den Konvergenzbereich eines 2D nichtlinearen Gleichungssystem zu untersuchen. Die Funktionen sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} f_1(x_1,x_2)=8x^2_1-8x_1+8x^2_2-8x_2+2,66667 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2(x_1,x_2)=32x_1^3-48x_1^2+18x_1+32x^3_2-48x^2_2+18x_2-2 \end{eqnarray}$ Ich habe versucht den Konvergenzbereich mit dem Fixpunktsatz von Banach zu ermitteln. Habe das nicht hinbekommen. Meine Ansätze waren wie folgt: $\begin{eqnarray} x_{k+1}=x_k-J^{-1}\cdot F \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht ob es der richtige Weg ist oder ob es eine andere Möglichkeit gibts, womit ich den Konvergenzbereich ermitteln kann.
04.08.2009, 15:30	chilie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Raphson-Verfahren in Mehrdimensionalen Habe leider vorhin zu schnell gedrückt... Sorry, hier nochmal alles, was ich loswerden wollte. $\begin{eqnarray} f_1(x_1,x_2)=8x^2_1-8x_1+8x^2_2-8x_2+2,66667 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2(x_1,x_2)=32x_1^3-48x_1^2+18x_1+32x^3_2-48x^2_2+18x_2-2 \end{eqnarray}$ Ich habe versucht den Konvergenzbereich mit dem Fixpunktsatz von Banach zu ermitteln. Habe das nicht hinbekommen. Meine Ansätze waren wie folgt: $\begin{eqnarray} x_{k+1}=x_k-J^{-1}\cdot F \end{eqnarray}$ und für meine Abildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ (Banach) habe ich folgendes $\begin{eqnarray} \left\|\phi(x_k)-\phi(x_{k+1})\right\|=q\cdot\left\|x_k-x_{k+1}\right\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q<1 \end{eqnarray}$ letztendlich stand bei mir sowas dann: $\begin{eqnarray} \frac{\left\|J^{-1}(x_{k+1})\cdot F(x_{k+1}) \right\|_2}{\left\|J^{-1}(x_{k})\cdot F(x_{k}) \right\|_2}<q<1 \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht ob es der richtige Weg ist oder ob es eine andere Möglichkeit gibts, womit ich den Konvergenzbereich ermitteln kann. Vielleicht kennt sollte ich nocht erwähnen, dass ich mit Mathematica arbeite. Vieln Dank und viele Grüße chile

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