Hilfe bei Beweisverständnis

04.08.2009, 18:25	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Beweisverständnis Hallo an alle, [attach]11014[/attach] Es geht um KOROLLAR 3.5.2.2. Ich komme beim Nachrechen nicht auf $\begin{eqnarray} \varphi_s'(x)=f_s'(x)-f_s'(a) \end{eqnarray}$ , sondern auf: $\begin{eqnarray} D_h\varphi(x)=\lim_{t\to 0}\frac{\varphi(x+t\cdot h)-\varphi(x)}{t}&=&\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t\cdot h)-f_s'(a)\cdot(x+t\cdot h-a)-(f(x)-f_s'(a)\cdot(x-a))}{t}\\<br /> &=&\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t\cdot h)-f(x)}{t}-f_s'(a)\cdot\lim_{t\to 0}\frac{(x+t\cdot h-a-x+a)}{t}\\<br /> &=&f_s'(x)\cdot h-f_s'(a)\cdot h\\<br /> &=&(f_s'(x)-f_s'(a))\cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\varphi_s'(x)= f_s'(x)-f_s'(a) \end{eqnarray}$ Gruß
04.08.2009, 20:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Was soll denn $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ sein? Das ergibt an dieser Stelle irgendwie keinen Sinn. Was du da hinschreibst, sieht auch irgendwie nicht nach der Ableitung aus, sondern nach der Richtungsableitung nach $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Des Weiteren geht es anscheinend eigentlich um schwache Ableitungen, welche meinem Wissen nach ein wenig anders definiert sind.
04.08.2009, 23:30	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mathespezialschüler, das hat mir schon etwas geholfen . Ich hab meinen ersten Post etwas editiert. $\begin{eqnarray} D_h\varphi(x) \end{eqnarray}$ ist jetzt die Richtungsableitung in $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Zum Schluss erhalte ich, dass diese für alle $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ existiert und da $\begin{eqnarray} f_s'(x)-f_s'(a) \end{eqnarray}$ stetig und linear in $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist, folgt die Behauptung. Hab die Ableitungen etwas durcheinander gebracht. Ich hoffe das passt so. Gruß
05.08.2009, 02:57	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist ddenn bei euch eine "schwache Ableitung"?
05.08.2009, 06:43	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition (Schwache Ableitung): $\begin{eqnarray} E, F \end{eqnarray}$ normierte Räume, $\begin{eqnarray} U\subseteq E \end{eqnarray}$ Angenommen für die Funktion $\begin{eqnarray} f : U \to F \end{eqnarray}$ existiert im Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \in int(U) \end{eqnarray}$ die Richtungsableitung $\begin{eqnarray} D_{[h]}f(x_0) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h \in E \end{eqnarray}$ . Ist desweiteren $\begin{eqnarray} D_{[h]}f(x_0) \end{eqnarray}$ eine stetige lineare Abbildung im Argument $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ , dann nennt man $\begin{eqnarray} f_s'(x_0)=D_{[.]}f(x_0) \in \mathcal L(E, F) \end{eqnarray}$ die schwache Ableitung oder auch die Gateaux-Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ .
05.08.2009, 15:32	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, ich sehe nun, was daran "schwach" ist. Danke.
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