lokal Lipschitz stetig

04.08.2009, 19:15

Studi_09

lokal Lipschitz stetig

Bei einem Beispiel zur Liptschitz-Stetigkeit verstehe ich eine Umformung nicht und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Aussage:
$\begin{eqnarray*} D={R} \times {R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: D \to R, f(x,y)=\sqrt{|x|}y^2 \end{eqnarray*}$

ist lokal Lipschitz stetig auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \epsilon D \end{eqnarray*}$ und wähle $\begin{eqnarray*} \delta=1 \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |y-y_0|<1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |y'-y_0|<1 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(x,y')|=|\sqrt{|x|}y^2-\sqrt{|x|}y'^2|=|\sqrt{|x|}(y^2-y'^2)|=|\sqrt{|x|}(y-y'^)(y+y')|=|\sqrt{|x|}||(y-y'^)||(y+y')| \end{eqnarray*}$

soweit versteh ich das noch, aber für die nächste Umformung mit der Begründung "Dreiecksungleichung" fehlen mir ein paar Zwischenschritte:

$\begin{eqnarray*} \leq 2 \sqrt{1+|x_0|} (1+|y_0|) |y-y'| \end{eqnarray*}$

Also wähle $\begin{eqnarray*} L=2 \sqrt{1+|x_0|} (1+|y_0|) \end{eqnarray*}$ als Lipschitzkonstante

04.08.2009, 19:23

Jacques

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Hallo,

Schulstoff ist das eher nicht, oder?

04.08.2009, 19:27

Studi_09

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Ne, is von der Uni, aber ich hab doch auch in "Hochschulmathematik" gepostet, oder?

04.08.2009, 20:02

system-agent

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Du hast
$\begin{eqnarray*} |x-x_0|<1 \end{eqnarray*}$
und mit der Dreiecksungleichung folgt
$\begin{eqnarray*} ||x|-|x_0||\leq|x-x_0|<1 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} -1\leq|x|-|x_0|\leq1 \end{eqnarray*}$
und daher
$\begin{eqnarray*} |x|\leq1+|x_0| \end{eqnarray*}$ .

05.08.2009, 00:44

Studi_09

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Vielen Dank für die Antwort!

Könnte man bei der Umformung dann nicht $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ schreiben statt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ?

05.08.2009, 09:33

system-agent

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Zitat:

Original von Studi_09
Könnte man bei der Umformung dann nicht $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ schreiben statt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ?

Ja ich denke schon.

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