affine Bilder von Ellipsen

04.08.2009, 22:21	sauza	Auf diesen Beitrag antworten »
affine Bilder von Ellipsen Hallo, ich habe eine Frage zu Ellipsen. Wenn man einen Einheitskreis hat, so kann ich den ja unter einer linearen Abbildung (--->Diagonalmatrix mit z.B. a und b in Diagonalen) zu einer achsenparallelen Ellipse abbilden. So, eine Ellipse allgemein ist das Bild einer achsenparallelen Ellipse unter Bewegung (kann mir das nochmal einer genau definieren? Dachte, das müssen in dem Fall Rotationen und Translationen sein, sonst komm ich ja nicht vom Ursprung weg, hab hier aber eine Definition: A orthogonal) Ein Kreis wird unter affiner Trafo zur Ellipse (mit Hauptachsentrafo) und daraus soll dann insgesamt folgen: Affine Bilder von Ellipsen sind wieder Ellipsen (weil Kompositionen von affinnen Trafos wieder affine Trafos). Diese Schlussfolgerung ist mir nicht klar. Was sind das für Kompositionen von Trafos?? K(0) (einheitskreis) <------> (durch affine Trafo) achsenparallele Ellipse <-------> (durch Bewegung) Ellipse ----->(durch affine Trafo) ? So lauten doch Zusammenhänge und Fragestellung oder? In einem anderen Beweis hier steht, da achsenparallele E. Bilder vom Einheitskreis sind, reicht es, um zu zeigen, dass affine Bilder von Ellipsen wieder E. sind, dass man zeigt, dass bei Anwendung einer affinen Trafo auf den Einheitskreis eine Ellipse rauskommt. Versteh ich nicht, warum das reicht, das zu zeigen. Und ist das nicht eh klar, wenn achsenparallele E. Bilder vom Einheitskreis sind, kann man dann auch nicht eh schon sagen, dass affine Trafo von einem Einheitskreis eine Ellipse ist??? Kann mir das jemand erläutern??
05.08.2009, 20:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ versteht man unter einer Bewegung (oder was dasselbe bedeutet: einer Kongruenzabbildung) eine Abbildung der Form $\begin{eqnarray} x \mapsto y = Ax + c \end{eqnarray}$ Hierbei sind $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Spaltenvektoren, $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist eine orthogonale $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -reihige Matrix und $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ eine feste Spalte. Ist $\begin{eqnarray} A = E \end{eqnarray}$ (Einheitsmatrix), so gilt $\begin{eqnarray} x \mapsto y = x + c \end{eqnarray}$ , die Bewegung ist eine Translation. Im Falle $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ ist die Bewegung eine Drehung um den Ursprung, wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Determinante $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ besitzt und $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »