Linear Abbildung Punkte P an Ebene

05.08.2009, 12:57

musikus

Linear Abbildung Punkte P an Ebene

Bin grad an einer sehr einfachen Aufgabe gescheitert.

Die Aufgabe ist, dass alle Punkte P werden gespiegelt an der Ebene, welche von der y-Achse und der Geraden g: X= lamda (1;0;1)---> sollte ein Vektor sein, aufgespannt wird.

Ich finde die Matrix nicht, die ich dazu brauche.

Meine Idee ist eine abgeänderte Einheitsmatrix, die y-und x-Koordinate bleiben ja fast gleich von P und P* nur die z-Koordinate ändert.

05.08.2009, 15:19

WebFritzi

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Welche Ebene?

05.08.2009, 17:08

hawe

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Du nimmst Dir 3 beliebige Punkte und berechnest die Bilder und die dazu notwendige Matrix:
E1:z-x
A: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.08.2009, 17:21

musikus

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Die Ebene ist R^3,

Vielen Dank,

Wie bist du auf die Matrix gekommen, sorry hab grad voll den Hänger...scheint aber nicht so schwer zu sein..

05.08.2009, 17:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von musikus
Die Ebene ist R^3,

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist keine Ebene!

05.08.2009, 18:11

musikus

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Sorry, die Ebene die von der y-Achse und von
g: X =a* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.

05.08.2009, 18:42

WebFritzi

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Ne, sorry meinerseits. Hatte deinen Text nicht richtig gelesen. Du kannst es so machen wie von hawe vorgeschlagen: Mal dir die Ebene auf. Dann wird klar, dass (1,0,0) auf (0,0,1) abgebildet wird und umgekehrt und dass (0,1,0) auf sich selbst abgebildet wird.

Du kannst es aber auch über Orthogonalprojektionen machen. Das müsstest du sowieso, wenn deine Ebene nicht so schön aufzumalen wäre. Deine Ebene E ist ein Unterraum und wird aufgespannt von (1,0,1) und (0,1,0). Also bilden

$\begin{eqnarray*} \vec a := \frac 1 {\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad \vec b := \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ein Orthonormalsystem von E. Die Orthogonalprojektion auf E ist also

$\begin{eqnarray*} P\vec x = \langle \vec x,\vec a\rangle\vec a + \langle \vec x,\vec b\rangle\vec b. \end{eqnarray*}$

Als Matrixabbildung schreibt sich P wie folgt:

$\begin{eqnarray*} P\vec x = \begin{pmatrix}\frac 1 2 & 0 & \frac 1 2\\0 & 1 & 0\\\frac 1 2 & 0 & \frac 1 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die Spiegelung an der Ebene ist die Abbildung S := 2P - I, wobei I die Einheitsmatrixx ist. Wir erhalten also

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 2 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

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