Satz von Varignon

05.08.2009, 14:16	mks210	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Varignon Hallo! gegeben ist das viereck ABCD mit den punkten A (3/2/-1) B(4/-3/-2) C(-3/-4/2) D (-1/-4/-2) Gezeichnet werden soll das Viereck, sowie die Geraden durch die benachbarten Seitenmitten. Nach dem Satz von Varignon sollte die entstehende Figur ein Parallelogramm sein. Das sieht in meiner Zeichnung auch fast so aus, der Fehler liegt vermutlich nur in der Perspektive. Ich habe als Richtungsvektoren der Verbindungsgeraden folgende Ergebnisse: Gerade durch M(AB) und M(BC): (-3;-3;1,5) Gerade durch M(CD) und M(DA): (3;3;-1) Gerade durch M(BC) und M(CD): (-2,5;-0,5;0) Gerade durch M(DA) und M(AB): (2,5;0,5;-0,5) Wenn sich ein Parallelogramm ergeben soll, dann müssten diese Richtungsvektoren ja erstens paarweise linear abhängig sein und zweitens jeweils paarweise den gleichen Betrag haben. Beides ist nicht der Fall. Ich habe alles mehrmals durchgerechnet, dass ich mich bei beiden Pärchen vertan habe glaube ich eigentlich nicht. Wo ist mein Denkfehler? Gruß! Markus Das natürlich nur, wenn die Beträge der Richtungsvektoren der jeweiligen Strecke MM enstprechen, was hier aber der Fall ist.
05.08.2009, 14:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, offenbar hast du dich irgendwo verrechnet. Um festzustellen, wo das passiert ist, könntest du ja nochmal die als Zwischenresultat nötigen Punktkoordinaten der Seitenmittelpunkten M(AB) , M(BC) , M(CD) und M(DA) nennen! Wie es aussieht, hast du dich beim Seitenmittelpunkt M(DA) verechnet...
05.08.2009, 16:41	mks210	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Ich habe mich tatsächlich genau da verrechnet. Leider hat es sich dann auch beide Geradenpaare ausgewirkt, sonst wär mir selber klar gewesen dass es ein Rechenfehler ist. So war ich mir dann doch unsicher, ob ich das Prinzip richtig verstanden habe. Richtig ist Gerade durch M(AB) und M(BC): (-3;-3;1,5) Gerade durch M(CD) und M(DA): (3;3;-1,5) Gerade durch M(BC) und M(CD): (-2,5;-0,5;0) Gerade durch M(DA) und M(AB): (2,5;0,5;0) Danke nochmal! Markus
05.08.2009, 22:20	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich kann da kein Parallelogramm sehen... [attach]11020[/attach]
06.08.2009, 00:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es seien $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ irgend vier Punkte (die Punkte brauchen nicht in einer Ebene zu liegen) und $\begin{eqnarray} P,Q,R,S \end{eqnarray}$ die Mitten der Seiten $\begin{eqnarray} AB,BC,CD,DA \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR} \end{eqnarray}$ Der Beweis ist denkbar einfach. Die Summe der Vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DA} \end{eqnarray}$ ist der Nullvektor. Daraus folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \, \overrightarrow{BC} = - \frac{1}{2} \, \overrightarrow{CD} - \frac{1}{2} \, \overrightarrow{DA} \ \ \Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR} \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} PQRS \end{eqnarray}$ immer ein (möglicherweise entartetes) Parallelogramm.

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