Definition Natürliche Zahlen

05.08.2009, 16:05

Markus1987

Definition Natürliche Zahlen

Nach der Analysis von W. Walter ist eine induktive Menge eine Menge welche die leere Menge enthält und für welche gilt, dass wenn ein Element a in der Menge ist, so ist auch a+1 in der Menge.

Die Natürlichen Zahlen sind der Durchschnitt aller induktiven Mengen.

Das verstehe ich nicht.

1.) Wieso denn der Schnitt und nicht die Vereinigung?

2.) Wieso verlangt man extra, dass die leere Menge enthalten ist, denn ist die leere Menge denn nicht in jeder Menge enthalten?

05.08.2009, 16:10

Ungewiss

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1. Weils so definiert ist? Vielleicht kann dir jemand anderes eine tiefgründigere Antwort geben, an der ich auch interessiert wäre.

2. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, aber nicht Element einer jeden Menge.

05.08.2009, 16:10

Airblader

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RE: Definition Natürliche Zahlen
1) Schnapp' dir ne induktive Menge, in der die -1 enthalten ist und dann wäre -1 natürlich. Genaugenommen würde die Vereinigungs-Definition dann bedeuten, dass alle Zahlen natürlich sind.

2) Die leere Menge ist nicht in jeder Menge enthalten. aber sie ist Teilmenge jeder Menge.

air

05.08.2009, 16:42

WebFritzi

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RE: Definition Natürliche Zahlen

Zitat:

Original von Markus1987
1.) Wieso denn der Schnitt und nicht die Vereinigung?

Die Menge der ganzen Zahlen ist auch eine induktive Menge.

05.08.2009, 17:03

Mathespezialschüler

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Sogar $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind induktive Mengen. Augenzwinkern

05.08.2009, 17:29

tmo

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Das Entscheidende bei den natürlichen Zahlen ist ja, dass es zwischen a und a+1 eben gar keine andere natürliche Zahl gibt. Also sind die Natürlichen Zahlen sozusagen die "kleinste induktive Menge".

Deswegen der Schnitt. Und nicht die Vereinigung.

05.08.2009, 17:49

papahuhn

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RE: Definition Natürliche Zahlen
Da passt etwas nicht ganz. Entweder geht man von der von-Neumann Definition aus, und sieht die leere Menge als Null an. Dann macht die "a+1" aber nicht direkt Sinn, sondern muss als die Nachfolgemenge $\begin{eqnarray*} a \cup \{a\} \end{eqnarray*}$ gesehen werden. Wenn man auf derart niedrigem Level auf Mengen schauen muss, wage ich mal zu bezweifeln, dass z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ induktiv wäre, da es sich bei den Elementen um Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen handelt.
Deshalb gehe ich eher davon aus, dass nicht $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ in jeder induktiven Menge sein soll, wodurch sich auch die Frage erledigt hat, ob die leere Menge nun Teilmenge oder Element jeder anderen Menge ist.

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