Von Vektorenschreibweise in die Matrixschreibweise

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musikus Auf diesen Beitrag antworten »
Von Vektorenschreibweise in die Matrixschreibweise
Wie komme ich an einem konkreten Beispiel zur von der Vektorenschreibweise, beispielesweise P*=P+2PD
(Spiegelung an einer Ebene mit der normalen N, D=Mittelpunkt auf Ebene zwischen P und P*)
zur Matrixschreibweise und umgekehrt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
musikus Auf diesen Beitrag antworten »

Konkreter Satz:

Sei omega eine durch den Nullpunkt gehende Ebene mit einem Normalvektor n der Länge 1. Die Spiegelung an omega ist eine lineare Abbildung mit Abbildungsmatrix:

S=Einheitsmatrix - 2N*N^T, wobei N=n als Matrix aufgefasst wird.

Wieso gillt nun P*= S*P für die oben erwähnte Spiegelung?
Markus1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt nicht sicher wovon du redest, aber wenn du eine lineare Abbildung hast und die darstellende Matrix willst, dann bildest du doch Elemente aus einem Urbild in ein Bild ab und wenn du das machst, dann kennst du ja auch deine Basen. Ne darstellende Matrix ohne Basen macht ja keinen Sinn oder?

Also nimmt man doch seine lineare Abbildung, bildet die Basis Stück für Stück ab, schreibt das Ergebnis in der neuen Basis hin und dann nimmt man die Entwicklungskoeffiziente und transponiert sie.

Denn die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren.

Kann man so sagen, oder? Bin unsicher ob das so formuliert korrekt ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sei P die Orthogonalprojektion auf deine Ebene E. Bilden die Vektoren a und b ein Orthonormalsystem von E, dann ist P gegeben durch

Px = <x,a>a + <x,b>b.

Dabei ist <.,.> das Standard-Skalarprodukt. Die Spiegelung an E ist dann

S = 2P - I.

Mach dir das anschaulich klar. Nun sei n ein Normalenvektor der Ebene. Dann bildet {a,b,n} ein Orthonormalsystem des IR³. Damit gilt

x = <x,a>a + <x,b>b + <x,n>n

für jeden Vektor x. Wir haben also

Sx = 2Px - x = 2<x,a>a + 2<x,b>b - x = 2<x,a>a + 2<x,b>b + 2<x,n>n - 2<x.n>n - x = 2x - 2<x,n>n - x = x - 2<x,n>n.

Wegen (wieso?) folgt

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