Vektorprodukt : Vortrag für Abi

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ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt : Vortrag für Abi
Liebe Leute,
ich bitte euch mir zu helfen. Ich habe in 3 Wochen mein Mathe-mündlich-Abi und muss dafür einen 5minütigen Vortrag zum Thema Vektorprodukt abhalten.

Könnt ihr mir wichtige Elemente nennen, die ich unbedingt drin haben sollte oder irgendwelche Tips oder sowas geben?
Ich wäre sehr sehr froh um eure Hilfe, da ich noch weitere 4 Fächer zum lernen habe und es mir als so unendlich viel vorkommt unglücklich ..

Liebe Grüsse,
Isy
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorschlag:

DU erzählst uns erstmal was DU so über diesen Begriff gefunden hast und wir üben Kritik bzw ergänzen oder liefern weitere Anregungen.

Gruß Björn
 
 
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

na gut. smile hast ja recht.
sehr eingehend habe ich mich mit dem thema noch nicht beschäftigt (bzw, mit dem vortrag), da ich, wie gesagt, noch vieles anderes zu lernen habe.

Ich gedenke aber auf jedefall eine Skizze zu machen, zur veranschaulichung, was das vektorprodukt ergibt ( a-vektor kreuz b-vektor = c-vektor, der senkrecht auf den anderen beiden steht).
Dann muss natürlich dazu, dass man damit auch die Fläche des durch a-vektor und b-vektor begrenzten Dreiecks bzw. Trapezes berechnen kann.

.. Das ist eigentlich alles, was ich noch aus dem Unterricht dazu weiss, und wozu man das Vektorprodukt anwendet. Ich denke aber, dass ich damit höchstens 2-3 Minuten füllen könnte..
Das sind die Ideen, die ich bis jetzt habe..

Liebe Grüsse, und sowieso, erstmal danke fürs Antworten smile

Isy
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, mir fällt gerade noch ein, dass das Vektorprodukt ja auch zum erhalten/berechnen des Normalvektors einer Fläche benötigt wird. Das ist auch noch wichtig für den Vortrag.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann muss natürlich dazu, dass man damit auch die Fläche des durch a-vektor und b-vektor begrenzten Dreiecks bzw. Trapezes berechnen kann.


Ich würde eher darauf hinweisen, dass man mit a x b den Flächeninhalt eines von diesen Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnet.
Und daraus ableitbar natürlich auch den Flächeninhalt eines Dreiecks.

Zur Anwendung wäre es noch möglich den Bezug zum Normalenvektor einer Ebene herzustellen, denn dieser steht ja gerade senkrecht zu den beiden Spann bzw Richtungsvektoren, welche die Ebene aufspannen.

Zudem ist eine Anwendung in der Physik (Drei-Finger-Regel) auch immer ganz schön.

Achja und auf jeden Fall noch mit reinbringen, dass das Vektorprodukt NUR im Dreidimensionalen definiert ist und dann auch zeigen WIE man es letztendlich berechnet.

Herleiten kann man es übrigens ganz elementar indem man ein Gleichungssystem aufstellt, mit welchem man einen Vektor (v1|v2|v3) berechnet, der senkrecht zu zwei beliebigen dreidimensionalen Vektoren (a1|a2|a3) und (b1|b2|b3) steht ----> Skalarprodukt zweier senkrecht zueinander stehenden Vektoren ist null

Ich hoffe das hilft dir ein bisschen weiter.
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der Physik ist ein super tipp! .. muss ich mir natürlich auch nochmal anschauen, wie das schon wieder funktioniert.. aber das krieg ich schon raus *hoffentlich* .
Das mit dem Skalarprodukt find ich auch super! smile danke!
mhm.. auch das mit dem dreidimensionalen sehe ich ein.

hey, super! du hast mir wirklich geholfen! vielen dank!

ich denke mal, dass all das die 5 minuten zur genüge ausfüllt und hoffentlich auch genügend verschiedene aspekte mit rein bringt, auf die ich notfalls bei einer gestellten frage auch antworten könnte.
Super!

Vielen vielen Dank bjoern! Freude
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich wenn dir dich das weiter gebracht hat smile

Ansonsten google den Begriff einfach mal, schon die ersten Treffer liefern eigentlich immer hilfreiche Ergebnisse, die man einbauen könnte.

Die von mir angesprochene Herleitung über ein LGS findet man z.B. auch hier:

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vekto...ktorprodukt.pdf

Viel Erfolg weiterhin Freude
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mir das mit der herleitung grad mal angeschaut (und überhaupt den vortrag mal ein bisschen zu strukturieren versucht) .. irgendwie verstehe ich das nicht so ganz.. verwirrt
aber ich versuchs trotzdem nochmal..

vielleicht komme ich da noch wieder auf dich zurück.. wenn ich darf?! smile

einen schönen abend noch!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
vielleicht komme ich da noch wieder auf dich zurück.. wenn ich darf?! smile


Sehr gerne sogar smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant habe ich immer den Dimensionswechsel gefunden, der in der Aussage

Länge des Kreuzproduktvektors = Fläche des von den Faktoren aufgespannten Parallelogramms

zum Ausdruck kommt. Ist doch irgendwie irre.
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es dafür eigentlich eine erkärung die man als mehr oder weniger laie iiirgendwie nachvollziehen kann?? ..
das wäre natürlich toll, wenn ich das irgendwie begründen könnte, wieso das so ist..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ISYgoing
gibt es dafür eigentlich eine erkärung die man als mehr oder weniger laie iiirgendwie nachvollziehen kann?? ..
das wäre natürlich toll, wenn ich das irgendwie begründen könnte, wieso das so ist..


wenn du damit den beitrag von Leopold meinst,
dann beachte das letzte wort, vermute ich smile
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde auch die mathematischen Eigenschaften des Kreuzprodukts ins Gaspräch bringen: Gelten Assoziativ-/Distributiv-/Kommutativgesetz oder nicht ...

Gruß, Kopfrechner
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das klassische Vektorprodukt ist eine Spezialität des . Nichtsdestoweniger kann man die Frage auch im Zweidimensionalen stellen: Wie findet man zu einem Vektor einen (gleichlangen) Vektor , der auf senkrecht steht? (elementargeometrische Betrachtung)
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

zu werner.. smile tschuldigung.. ich versteh nicht, was du mit deinem eintrag meinst.. verwirrt ..
.. (würds aber gern verstehen!)
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

zu leopold.. das ist natürlich ein intressanter aspekt, dass man sich die frage auch im 2-dimensionalen raum stellen kann.
aber wieso sagts du "gleichlangen" vektor..? ..
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

danke kopfrechner für den hinweis! Freude
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ISYgoing
zu werner.. smile tschuldigung.. ich versteh nicht, was du mit deinem eintrag meinst.. verwirrt ..
.. (würds aber gern verstehen!)


weil ich meine. dass in der "regel" gilt


woraus man folgern könnte.....
ok verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
weil ich meine. dass in der "regel" gilt


Um etwas abzuschweifen: den Dimensionssprung hat man ja auch anderswo. Etwa bei der Integralrechnung. Dort wird eine Zahl, die einen orientierten Flächeninhalt darstellt, bei der Stammfunktion also Ordinate F(x) und damit als Länge aufgefaßt. Dieser Kniff ist das Fundament der gesamten Integralrechung.

Was das Vektorprodukt angeht, bleibe ich dennoch dabei: irgendwie irre.
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Dass bei den Physikern die Einheiten normalerweise immer so schön aufgehen ist schon beeindruckend. Und natürlich ist das auch nicht zufällig so. Aber Naturgesetz ist das keins! Zum Beispiel ist die Fläche eines Einheitsquadrats gleich seiner Seitenlänge. Tatsächlich stimmen Fläche und Seitenlänge also für jedes Quadrat überein, wenn man nur die Einheit "richtig" definiert.

Mindestens ebenso spaßig ist es, dass bei einer Kugel Volumen und Oberfläche übereinstimmen, wenn der Radius 3 Einheiten lang ist. Ist das jetzt ein Weltwunder?

Das Kreuzprodukt liefert schlicht und ergreifend einen Vektor, dessen Länge man als die Fläche eines Parallelogramms interpretieren KANN. Nicht mehr und nicht weniger ... Big Laugh

Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ein Schlingel!
Da staunen wir großen Kinder über die bunten Blumen, und du sagst: Größtenteils Kohlenstoffverbindungen und Wasser, und wenn man sie verbrennt, werden sie schwarz. traurig
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Ouch! Na, ich will doch hier niemandem seinen schönen Glauben nehmen! Denn wenn man genau hinsieht, klappt das doch mit den Dimensionen auch beim Vektorprodukt.

Nehmen wir mal an, wir haben zwei Vektoren mit der Dimension "Meter".


und


Die Schreibweise soll anzeigen, dass die Dimension der Koordinaten "Meter" ist. Für das Vektorprodukt gilt doch



Die Koordinaten des Ergebnisvektors sind Differenzen von Rechtecken, also Flächen. Und die haben somit die Dimension [m²]. Das Kreuzprodukt liefert also einen Vektor, dessen Koordinaten wir als FLÄCHEN interpretieren müssen. Und da liegt der Hase im Pfeffer!



Die Länge des Vektors erhalten wir durch Wurzelziehen aus Summen von Quadraten von diesen Koordinaten. Dadurch ändert sich die Dimension nicht und wir erhalten wieder eine Fläche. Und damit sollte nun klar sein, warum die Länge des Kreuzprodukts eine Fläche liefert.

Na, ist die Welt jetzt wieder in Ordung? Big Laugh

Grüße
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

wow barneyG. ! du bist super! smile vielen dank für diesen eintrag! ..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BarneyG.
Na, ist die Welt jetzt wieder in Ordung? Big Laugh


Sie war nie in Unordnung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Interessant habe ich immer den Dimensionswechsel gefunden, der in der Aussage

Länge des Kreuzproduktvektors = Fläche des von den Faktoren aufgespannten Parallelogramms

zum Ausdruck kommt. Ist doch irgendwie irre.


Diese Aussage ist so auch gar nicht richtig (bzw. falsch zitiert). Denn genau heisst sie:

Die Länge des Kreuzproduktvektors ist betragsmäßig gleich der Fläche des von den Faktoren aufgespannten Parallelogramms

mY+
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

mythos..
ein kleines aber sehr wichtiges detail! smile
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht kann mir jemand helfen zu verstehen, warum der c-Vektor = dem Null-Vektor ist, wenn einer der beiden anderen Vektoren (a oder b) gleich dem Nullvektor ist. ? ..
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die von mir angesprochene Herleitung über ein LGS findet man z.B. auch hier:

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vekto...ktorprodukt.pdf
Freude


Lieber Bjoern.. ich wollte dich da nochmal was fragen...

ich hab mir die Herleitung jetzt mehrfach angeschaut.. aber ein problem habe ich noch.
dort heisst es :

n2 = ((a3b1 - a1b3) x n1) / (a2b3 - a3b2)

.. und ich schaff das einfach nicht, ich erhalte immer:

n2 = ((a3b1 - a1b3) x n1) / (a3b2 - a2b3) .. also mit den Vorzeichen irgendwie verkehrt.. ich weiss nicht, was ich falsch gemacht habe..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ISYgoing
vielleicht kann mir jemand helfen zu verstehen, warum der c-Vektor = dem Null-Vektor ist, wenn einer der beiden anderen Vektoren (a oder b) gleich dem Nullvektor ist. ? ..


Siehe dir zunächst mal das Thema

Beweis des Kreuzproduktes

an. Und nun überlege, was passiert, wenn in



die Koordinaten eines der beiden Vektoren alle zu Null werden.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Die Länge des Kreuzproduktvektors ist betragsmäßig gleich der Fläche des von den Faktoren aufgespannten Parallelogramms


Da spricht wohl der Physiker, der da irgendwie an Betrag und Einheit oder so etwas denkt. Für den Mathematiker sind das nur Zahlen. Und "betragsmäßig" im mathematischen Sinn kann ja nicht gemeint sein. Denn Längen und Flächeninhalte sind definitionsgemäß nichtnegativ.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Betragsmäßig -> im Sinne von zahlenmäßig

mY+
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Lieber Bjoern.. ich wollte dich da nochmal was fragen... ich hab mir die Herleitung jetzt mehrfach angeschaut.. aber ein problem habe ich noch. dort heisst es : n2 = ((a3b1 - a1b3) x n1) / (a2b3 - a3b2) .. und ich schaff das einfach nicht, ich erhalte immer: n2 = ((a3b1 - a1b3) x n1) / (a3b2 - a2b3) .. also mit den Vorzeichen irgendwie verkehrt.. ich weiss nicht, was ich falsch gemacht habe..


Joa ist natürlich jetzt schwer zu sagen wo dein Fehler ist, ich versuche mal anzudeuten wie der Hase läuft:

Setze den Term für n3 in die Gleichung a1n1+a2n2+a3n3=0 ein und löse nach n2 auf.

Das sollte hierzu führen:







Wenn du das jetzt weiter ausrechnest und a2 kürzt solltest du auf den Term aus der Lösung kommen.

Gruß Björn
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

Zu mYthos:

jetzt ist alles klar! .. weiss auch nicht warum ich da so auf der leitung gestanden bin.
danke smile
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

danke bjoern.. habs versucht.. aber ach.. keine ahnung wos hakt.. .. ich versuch mal zu zeigen, wie ichs rechne:
Auf folgendes bin ich auch gekommen.. steht in dem skript ja auch drin..



wenn ich nun aber die rechnung davor, anstatt nach n3 nach n2 auflösen will siehts so aus:

das ganze multiplizieren mit
und
das ganze multiplizieren mit

so.. dann kann man ja nach auflösen..




so.. und wenn man das jetzt mit dem oben genannten ergebnis von vergleicht stimmt das unten einfach nicht! hmpf..
was mach ich falsch? Forum Kloppe
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du -1 in Zähler und Nenner ausklammerst und dann wegkürzt dann passts doch oder ?
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. verdammt.. du könntest recht haben.. ich war auch schon mal auf so eine idee gekommen, aber bin das ganze wohl etwas zu kompliziert angegangen...
tja..
manchmal hakts wegen so kleinen dingen!

smile danke!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gerne Wink
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

so meine lieben freunde des vektorprodukts..:

mein vortrag ist bereits zusammengestellt und alles wäre super, wenn mir jetzt nur nicht aufgefallen wäre, dass ich zu viel in den vortrag reingepackt habe, dh. er überschreitet das zeitlimit (ca. 5min).

könntet ihr mir bitte helfen, das wesentliche vom unwesentlichen zu trennen?! vielleicht mache ich zu kleine schritte, die völlig überflüssig wären (es stehen immerhin mein mathelehrer und ein mathe-experte neben mir)..

ich hänge das dokument mit dem vortrag einfach mal an..

danke für eure hilfe!!!
ISYgoing Auf diesen Beitrag antworten »

nicht nur runterladen.. auch antworten bitte!
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nicht nur runterladen.. auch antworten bitte!


Na, ich muss dein Meisterwerk ja auch erst mal lesen, ehe ich antworten kann ... Big Laugh

In deinem Referat solltest du genau kennzeichnen, was DEFINITION und was SATZ ist. Das hast du nämlich m.E. nicht sauber getrennt!

Du könntest z.B. zunächst einmal deine Rechnung anführen, wie man einen Vektor berechnet, der zu zwei gegebenen (linear unabhängigen) Vektoren senkrecht steht.

Dies LEGT ES NAHE, das Kreuzprodukt zu DEFINIEREN als:



Durch die vorangehende Rechnung hast du dann auch schon die erste Eigenschaft des Kreuzproduktes nachgewiesen, nämlich, dass der Vektor a x b senkrecht auf a und b steht.

Man kann nun weiterhin nachweisen, dass |a x b| = |a| * |b| * sin(alpha) ist, also die Länge des Kreuzprodukts gleich der Fläche des aufgespannten Parallelograms ist. Auch das kann man ganz einfach durchrechnen. Ob man diese Rechnung aber in einem Vortrag von nur 5 Minuten Dauer aufnehmen sollte, musst du selbst wissen. Ich würde das vielleicht eher nur erwähnen und den Beweis dem geneigten Zuhörer überlassen.

Danach würde ich die von dir erwähnten Rechenregeln für das Kreuzprodukt anführen (nicht kommutativ, distributiv, assoziativ). Auch das sind SÄTZE, die man eigentlich beweisen muss. Da die Rechnungen sehr kurz sind, könnte man die schon eher in den Vortrag aufnehmen. Oder man verweist wieder auf den geneigten ... Big Laugh

Die Sache mit dem Dimensionssprung würde ich ganz weglassen! Das ist eine "Spezialdiskussion", die ich mit leopold geführt hatte. Letzten Endes verhält sich das Kreuzprodukt in dieser Hinsicht wie jedes andere Objekt. Und deshalb sollte man darauf verzichten das darzustellen, weil in einen solch kurzen Vortrag eben nur wesentliche Dinge hineingehören.

Was du aber noch erwähnen solltest, sind die Anwendungen des Kreuzproduktes. Etwa beim Umwandeln einer Ebenengleichung aus der Vektorform in die Normalenform. Oder in der Physik beim Berechnen der Lorenzkraft.

Dann sollte das ein runder Vortrag sein, der 5 Minuten dicke ausfüllt. Viel Erfolg dabei!

Grüße

[edit]Wieso funktioniert mein "latex" eigentlich nicht? unglücklich Braucht es da noch irgendein besonderes Steuerzeichen????
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