Abschätzungen mit Taylorformel. Bis zu welchem Grad entwickeln?

06.08.2009, 12:17

fummi

Abschätzungen mit Taylorformel. Bis zu welchem Grad entwickeln?

Hi,
ich habe mal ne kurze Frage zur Taylorformel und Abschätzungen von Ungleichungen mit ihr.

Bis zum wie vielten Grad muss ich meine Funktion entwickeln?

Also sowas wie
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) := \int_{0}^{x}~arctan(sin(t))~dx <br /> <br /> - x³/2 \leq f(x) - x²/2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

für alle x aus R.

Woher weiß ich jetzt, bis zu welchem Grad ich f(x) hier entwickeln muss?

Vielen Dank

06.08.2009, 12:23

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Zunächst mal meinst du wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f(x) := \int_0^x ~ \arctan(\sin(t)) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Was dieses anschließende, "in der Luft hängende"

Zitat:

Original von fummi
$\begin{eqnarray*} - x³/2 \leq f(x) - x²/2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

bedeuten soll, musst du allerdings noch erläutern!

Und was soll das Abbruchkriterium für die gewünschte Taylorentwicklung sein? verwirrt

06.08.2009, 12:29

fummi

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Sorry, meinte dt, klar.

Das da unten ist zu beweisen. Also Taylorpolynom zu f(x) entwickeln.

Zitat:

Und was soll das Abbruchkriterium für die gewünschte Taylorentwicklung sein?

Na, das mein ich ja, denke ich ^^ Bis zu welchem Grad entwickel ich das Taylorpolynom, mit dem ich dann die Abschätzung beweisen kann? Also was ist das Kriterium? Irgendein Potenzgrad in f(x)? Oder dem abzuschätzenden Term?

Hänge bei der ganze Sache etwas in der Luft, also weiß ich nicht, ob ihr was mit der Fragestellung anfangen könnt Augenzwinkern

06.08.2009, 12:33

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Falls du stattdessen

$\begin{eqnarray*} - x³/2 \leq T_n(x) - x²/2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

meinen solltest, wobei $\begin{eqnarray*} T_n(x) \end{eqnarray*}$ die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bis zum Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein soll, dann schreib es auch so! Wenn du $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ schreibst, meinst du natürlich auch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ selbst, nicht eine Approximation davon!!!

06.08.2009, 12:43

fummi

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Ja gut, hatte ich auch zunächst vor, allerdings dachte ich mir, dass ich die Aufgabenstellung lieber 1:1 abschreibe smile

Ich editiers mal .. aber die Frage bleibt ja smile

/edit
Ok, geht nicht mehr, da schon 15 Min vergangen sind

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) := \int_{0}^{x}~arctan(sin(t))~dt \end{eqnarray*}$

Zeige damit:
$\begin{eqnarray*} - x³/2 \leq T(x) - x²/2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

für alle x aus R.

06.08.2009, 12:56

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Zitat:

Original von fummi
Zeige damit:
$\begin{eqnarray*} - x³/2 \leq T(x) - x²/2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

für alle x aus R.

Was aber auch für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ keinen Sinn macht, da für diese bereits auch ohne den Mittelteil das Gegenteil

$\begin{eqnarray*} - x³/2 > 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Vielleicht soll es nur für alle nichtnegativen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten?

Alles in allem eine ziemlich schlampig formulierte Aufgabe - ob es nun deine Schuld ist oder nicht, sei mal dahingestellt.

06.08.2009, 13:01

fummi

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$\begin{eqnarray*} x \in (0,\pi ) \end{eqnarray*}$

Sorry ^^ Bin von drei Tagen Dauerlernen schon ein wenig mürbe ^^

Es geht auch gar nicht konkret um diese Aufgabe, sondern darum, dass ich nicht weiß, wie weit ich T(x) hier entwickeln muss smile

Das muss man ja irgendwie erkennen ..

06.08.2009, 13:22

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Zitat:

Original von fummi
Es geht auch gar nicht konkret um diese Aufgabe

Da bin ich entschieden anderer Meinung: Eine ordentlich formulierte Aufgabenstellung ist eine unverzichtbare Grundlage, sonst bewegt man sich nur in einem Sumpf...

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Wenn du dir die Struktur der Ungleichung ansiehst, dann schau dir doch mal die Taylorformel mit Restglied an:

$\begin{eqnarray*} f(x) = T_n(x) + R_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ ,

im Entwicklungspunkt 0 wäre das

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \end{eqnarray*}$

sowie Langrange-Restlied

$\begin{eqnarray*} R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\vartheta(x)\cdot x)}{(n+1)!} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \vartheta(x) < 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist doch der Gedanke naheliegend, es angesichts der in deiner Ungleichung auftretenden Potenzen $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ mal mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ zu versuchen - das Restglied $\begin{eqnarray*} R_3(x) \end{eqnarray*}$ muss dann eben passend abgeschätzt werden. Zuvor muss es natürlich erstmal berechnet werden, genauso wie $\begin{eqnarray*} T_2(x) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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