Darstellung linearer abbildung

06.08.2009, 18:42

estrella2109

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Darstellung linearer abbildung

Könnt ihr mir vielleicht die folgende Darstellung einer linearen Abbildung erklären? Versthe das mit dem -2id nicht so ganz, also schon was das ist, aber nicht wie ich damit jetzt hier umgehen kann

$\begin{eqnarray*} 2x^{3} -3x^{2} -3x=-2id \end{eqnarray*}$

Soll Eigenwerte bestimmen und herausfinden, ob diese Abbildung diagonalisierbar ist. Das wäre nicht das Problem, nur die Darstellungsweise macht mich wirr...

06.08.2009, 20:27

Mathespezialschüler

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Ist das die komplette Aufgabenstellung? Ich sehe hier nirgendwo eine lineare Abbildung!

06.08.2009, 21:14

estrella2109

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RE: Darstellung linearer abbildung
nein, sory, da hab ich wohl was unterschlagen, also komplett:
Sei f eine lineare Abbildung eines dreidimensionalen K-Vektorraumes in sich, die der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2f^{3} -3f^{2} -3f=-2id \end{eqnarray*}$ genügt. BEantworten sie für K= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und K= $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ 3 die folgenden Fragen:
a) Welche Eigenwerte hat f?
b) Ist f diagonalisierbar?

06.08.2009, 22:31

jester.

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Na prima, das ist doch schon mal was. Und da Mathespezialschüler nicht online ist, übernehme ich mal.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genügt also der Gleichung, die du angegeben hast. Was denkst du, woher könnte diese Gleichung stammen und in welchem Zusammenhang steht das mit Eigenwerten (Tipp: Stelle die Gleichung mal ein wenig um!)?

Das $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ steht übrigens für die Identitätsabbildung: $\begin{eqnarray*} id~:~x\mapsto x \end{eqnarray*}$ .

Also, was sind deine Ideen?

07.08.2009, 08:41

estrella2109

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genau, id ist die identität, das wusste ich ja...hatte schon gedacht, dass das das charakteristische Polynom sein könnte, wegne den Eigenwerten, schien mir aber zu einfach und wie gesagt, mich störte das -2id.
umstellen, hm könnte man durch -2 teilen?

07.08.2009, 09:13

jester.

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Hmm, ich hatte da eher an etwas anderes gedacht, nämlich das Ganze nach 0 aufzulösen. Was kann man dann über die Eigenwerte sagen?

Da die Aufgabenstellung sagt, f genügt der gegebenen Gleichung, muss diese Gleichung aus dem charakteristischen Polynom enstanden sein. Genauer gesagt handelt es sich um ein Vielfaches das charakteristischen Polynoms, da dieses ja immer normiert ist.

Also, jetzt Butter bei die Fische: Welche Eigenwerte hat f über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und welche über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ?

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07.08.2009, 09:23

estrella2109

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wenn ich nach 0 auflöse, kann ich die Eigenwerte bestimmen, in dem ich die Lösungen dieser Gleichung berechne. Wenn ich nun aber +2id rechne, gehe ich damit wie um? das war ja mein eigentliches problem, weil ich nicht weiß, wie...:-/

07.08.2009, 09:40

jester.

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Das $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ tritt doch hier nur in Erscheinung, weil wir die Abbildung in das Polynom eingesetzt haben. Wir können doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ von der Abbildung abziehen, das ist nicht möglich. Wir ziehen $\begin{eqnarray*} 2id \end{eqnarray*}$ ab. Wählen wir eine Basis des Vektorraumes und stellen wir die Abbildung in entsprechenden Matrizen dar, so ziehen wir eben zwei mal die Einheitsmatrix ab. So einfach ist das.

Edit wegen unglücklichem Ausdruck

07.08.2009, 13:26

estrella2109

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also würd ich jetzt eine darstellungsmatrix dieser abbildung z.b. bzgl der kanonischen basis bestimmen, von dieser dann 2*E3 abziehen und dann charakteristisches polynom bestimmen, dadurch eigenwerte etc?
schade, das ging nämlich so fein auf, als ich einfach +2 gerechnet hatte smile

smile

07.08.2009, 14:25

jester.

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Ok, nochmal von vorne: Deine Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} 2f^{3}-3f^{2}-3f=-2id \end{eqnarray*}$

Was ich die ganze Zeit nur von dir wollte, ist, dass du $\begin{eqnarray*} +2id \end{eqnarray*}$ rechnest und somit siehst, dass du $\begin{eqnarray*} 2\chi_{f} \end{eqnarray*}$ vor dir hast, wobei $\begin{eqnarray*} \chi_{f} \end{eqnarray*}$ für das charakteristische Polynom deiner Abbildung steht.

Es ist also $\begin{eqnarray*} 2\chi_{f}(X)=2X^{3}-3X^{2}-3X+2~\in\mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ . Wie lauten nun die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

07.08.2009, 14:27

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung, ebenso $\begin{eqnarray*} f^2=f\circ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^3=f\circ f\circ f \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung besagt nun, dass

$\begin{eqnarray*} 2f^3-3f^2-3f+2\operatorname{id} \end{eqnarray*}$

die Nullabbildung ist. Das Polynom $\begin{eqnarray*} p(X)=2X^3-3X^2-3X+2 \end{eqnarray*}$ annulliert also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Es muss also ein Vielfaches des Minimalpolynoms sein (aber nicht unbedingt ein Vielfaches des charakteristischen Polynoms!). Insbesondere sind die Nullstellen dieses Polynoms genau was in Bezug auf die Abbildung?

edit: @jester
Dass dies das Doppelte des charakteristischen Polynoms ist, ist i.A. falsch! In diesen Spezialfällen stimmt es nur zufälligerweise.

07.08.2009, 14:45

jester.

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
edit: @jester
Dass dies das Doppelte des charakteristischen Polynoms ist, ist i.A. falsch! In diesen Spezialfällen stimmt es nur zufälligerweise.

Das verstehe ich nicht. f ist ein Endomorphismus eines dreidimensionalen Vektorraums, das char. Pol. hat somit Grad 3. Das Polynom hier hat auch Grad 3 und es hat f als "Nullstelle", es ist nur nicht normiert. Was übersehe ich?

07.08.2009, 14:48

estrella2109

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dann hab ich ja doch mehr Glück als Verstand gehabt und dadurch, dass ich einfach +2 gerechnet habe die richtigen Eigenwerte berechnet - die Nullstellen dieses Polynoms die Eigenwerte der Abbildung, oder?
habe für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte -1, 2 und 1/2 heraus, für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ 3 dann nur -1 und 2 weil diese ganzzahlig sind?

wäre dies genauso möglich, wenn dort nur -id oder +4id stehen würde?

07.08.2009, 14:50

jester.

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Die Eigenwerte in R stimmen, in Z/3Z auch, aber dort ist auch -1=2, es gibt also nur einen Eigenwert, egal ob man den nun als -1 oder als 2 bezeichnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist mit dem zweiten Teil der Frage?

07.08.2009, 15:29

estrella2109

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ja, klar, mit dem -1 smile

smile

diagonalisierbarkeit: eigenvektoren bestimmen und nach geometrischer vielfachheit schauen, wenn diese zusammen 3 sind, dann ja, wenn nicht dann nicht?

07.08.2009, 15:31

jester.

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Den Begriff geometrische Vielfachheit kenne ich jetzt nicht, aber ich vermute, dass wir das gleiche meinen: Die Summe der Dimensionen der Eigenräume/des Eigenraums (im zweiten Fall) muss 3 ergeben.

Und wie sieht das in unseren Fällen konkret aus?

Nachtrag: Das ist hier natürlich ein bisschen kompliziert, da die Abbildung gar nicht explizit vorgegeben ist. Hast du eine Idee, wie man das Problem trotzdem lösen kann?

07.08.2009, 15:38

estrella2109

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Zitat:

Original von jester.
Den Begriff geometrische Vielfachheit kenne ich jetzt nicht, aber ich vermute, dass wir das gleiche meinen: Die Summe der Dimensionen der Eigenräume/des Eigenraums (im zweiten Fall) muss 3 ergeben.

ja genau das meinte ich..

stimmt, hab ja gar keine darstellungsmatrix, mit der ich die eigenvektoren berechnen kann, hm aber da war doch was, komm jetzt nicht auf den namen..gabs nicht eine matrix, wo auf der diagonalen nur die eigenwerte stehen?

07.08.2009, 15:49

estrella2109

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nochmal ich...also für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ müsste sie es doch auf jeden fall sein, da ich 3 verschiedene eigenwerte habe?

07.08.2009, 16:03

Mathespezialschüler

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Ich habe oben auch noch einen kleinen Fehler gemacht.

Zunächst zu der Frage von jester: Man betrachte die Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_A(X)=(X-1)(X-2) \end{eqnarray*}$ . Das charakteristische Polynom ist $\begin{eqnarray*} \chi_A(X)=(X-2)^2(X-1) \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun $\begin{eqnarray*} q(X)=(X-2)(X-1)^2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt natürlich auch $\begin{eqnarray*} q(f)=0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist kein Vielfaches des charakteristischen Polynoms!

Überhaupt ist die Aufgabe irgendwie komisch, denn man kann beide Fragen irgendwie nicht beantworten.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} p(X)=(X+1)(X-2)\left(X-\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Als Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kommen also höchstens diese Nullstellen in Frage. Es müssen aber nicht alle Nullstellen auch Eigenwerte sein. Denn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ annulliert alle Diagonalmatrizen, auf deren Diagonale höchstens obige Nullstellen stehen, z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\ldots \end{eqnarray*}$ .

Man kann also nicht sagen, was die Eigenwerte genau sind. Allerdings kann man etwas über die Diagonalisierbarkeit aussagen. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss diagonalisierbar sein, da das Minimalpolynom ein Teiler von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist und somit in Linearfaktoren zerfällt, wobei jede Nullstelle einfach ist. Dies ist äquivalent zur Diagonalisierbarkeit.

Nun zu $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} p(X)=(X+1)^3 \end{eqnarray*}$ . Die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind, wie gesagt, in jedem Fall Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat aber nur eine Nullstelle, also ist $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ der einzige Eigenwert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Bei dieser Aufgabe lässt sich dafür nichts über die Diagonalisierbarkeit aussagen. Z.B. wird jede Matrix der Form

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -1 & * & * \\ 0 & -1 & * \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ annulliert. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist aber dann und nur dann diagonalisierbar, wenn alle Einträge $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ Null sind, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ also Diagonalmatrix ist.

07.08.2009, 16:08

jester.

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Aha! Das finde ich natürlich sehr einleuchtend. Ich war dem Trugschluss erlegen, dass alle Nullstellen des angegebenen Polynoms auch genau Eigenwerte von f sein müssten. Danke für die Aufklärung. Freude

Freude

07.08.2009, 16:23

estrella2109

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Allerdings kann man etwas über die Diagonalisierbarkeit aussagen. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss diagonalisierbar sein, da das Minimalpolynom ein Teiler von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist und somit in Linearfaktoren zerfällt, wobei jede Nullstelle einfach ist. Dies ist äquivalent zur Diagonalisierbarkeit.

also ist sie diagonalisierbar, weil es drei verschiedene Nullstellen gibt, also in linearfaktoren zerfällt? und in $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ zerfällt es doch nicht, folglich nicht diagonalisierbar?

übrigens glaub ich, dass die aufgaben mit absicht so gestellt werden, damit die klausuren nicht so gut ausfallen...da es wirklich keine gut gestellten aufgaben gibt smile

smile

07.08.2009, 17:02

WebFritzi

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@estrella: Die Aufgabe ist doch sehr ok gestellt. Sie ist auch ser leicht zu lösen. Wir wissen, dass p(f) = 0, wobei p(x) = 2 * (x-2) * (x+1) * (x-1/2). Das bedeutet, dass das Minimalpolynom von f ein Teiler von p ist. Und da die Nullstellen des Minimalpolynoms gerade die Eigenwerte von f sind, folgt, dass f nur die Eigenwerte 2, -1 und 1/2 haben kann. Mehr wissen wir nicht. Z.B. kann f den dreifachen Eigenwert 2 haben. Wie das? Ganz einfach: f(x) = 2x. Dann ist natürlich p(f) = 2(f-2)(f+1)(f-1/2) = 0, und die Werte -1 und 1/2 haben keine Bedeutung. Nun musst du noch entscheiden, ob f diagonalisierbar ist. Nehmen wir uns dafür den Fall K = IR daher. Kann es passieren, dass das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt? Nein, denn dann hätte f mindestens einen nichtreellen Eigenwert, und der würde als quadratischer Faktor im Minimalpolynom, also auch in p, auftauchen. Das ist aber nicht so. Jetzt musst du nur noch begründen, warum sich für jeden Eigenwert algebraische und geometrische Vielfachheit gleichen.

07.08.2009, 17:07

estrella2109

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Zitat:

Original von WebFritzi
Jetzt musst du nur noch begründen, warum sich für jeden Eigenwert algebraische und geometrische Vielfachheit gleichen.

ja, das würde ich ja eigentlich über die eigenvektoren machen, für die ich die darstellungsmatrix benötige die ich nicht habe...oder habe ich einen weg übersehen?

07.08.2009, 17:15

WebFritzi

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Die geometrische ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit. Nimm nun an, für einen Eigenwert sei die geometrische echt kleiner als die algebraische.

07.08.2009, 17:24

estrella2109

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dann ist sie nicht diagonalisierbar, aber kann ich das einfach annehmen, ohne begründung? verwirrt

verwirrt

07.08.2009, 17:28

estrella2109

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nein, du wolltest mich darauf hinweisen, dass ich einen beweis durch widerspruch durchführen sol??

07.08.2009, 17:33

WebFritzi

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Richtig.

07.08.2009, 20:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von estrella2109
also ist sie diagonalisierbar, weil es drei verschiedene Nullstellen gibt, also in linearfaktoren zerfällt? und in $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ zerfällt es doch nicht, folglich nicht diagonalisierbar?

Du hast mich anscheinend nicht verstanden.

Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfällt und dabei nur einfache Nullstellen besitzt.

Das hat mit dem Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ erstmal nicht so viel zu tun, denn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ muss ja nicht das Minimalpolynom sein!

Wie gesagt, gibt es sehr viele Endomorphismen, die von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ annulliert werden. Über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind dies z.B. alle Endomorphismen, die bzgl. einer geeigneten Basis eine der Matrizen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},\ldots \end{eqnarray*}$

als Darstellungsmatrix besitzen.

Über $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ hingegen werden z.B. alle Endomorphismen mit den Darstellungsmatrizen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\ldots \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ annulliert, aber nur die allererste Matrix ist diagonalisierbar! Man kann die zweite Frage also in diesem Fall nicht beantworten.

18.08.2009, 16:57

estrella2109

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ich scheine es wirklich noch nicht richtig verstanden zu haben...in meiner literatur finde ich darüber natürlich gar nichts.

sind die nullstellen des angegebenen polynoms nicht unbedingt die eigenwerte?

und erst einmal noch eine andere Frage bei einer Abb. f ist id=f? also die identität ist die abb in sich selbst, demnach ist id=f?

sorry verwirrt

verwirrt

18.08.2009, 17:08

jester.

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Nein, die Identität ist eine Abbildung von einer Menge in die gleiche Menge, wobei jedes Element sich selbst zugeordnet wird. $\begin{eqnarray*} id ~:~ M\to M,~x\mapsto x \end{eqnarray*}$ .

Und Mathespezialschüler hat doch sehr ausführlich und anschaulich erklärt, dass die Nullstellen des angegebenen Polynoms nicht notwendigerweise die EW sind, da das angegebene Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms ist.

18.08.2009, 17:32

estrella2109

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okay, danke schön...das mit den eigenwerten/nullstellen hatte ich so verstanden, deswegen habe ich noch einmal nachgefragt. mir stellt sich halt deswegn nur die frage, wie ich die eigenwerte berechnen soll, da dies ja gefragt ist. eigentlich kann ich doch nur sagen, welche möglichkeiten es für die eigenwerte gibt, aber nicht explizit, welche es sind...

das mit der identität ist mir jetzt auch klar, wollte nur nachfragen, da ich ein bsp gefunden habe, bei dem auf der einen seite des gleichheitszeichens f stand und nicht id...das wäre dann aber wohl eine anderer aufgabentyp, dachte ich mir schon.

18.08.2009, 17:37

jester.

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Zitat:

Original von estrella2109
okay, danke schön...das mit den eigenwerten/nullstellen hatte ich so verstanden, deswegen habe ich noch einmal nachgefragt. mir stellt sich halt deswegn nur die frage, wie ich die eigenwerte berechnen soll, da dies ja gefragt ist. eigentlich kann ich doch nur sagen, welche möglichkeiten es für die eigenwerte gibt, aber nicht explizit, welche es sind...

Genau so ist es.

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