Folgen und Konvergenz / Grenzwert

07.08.2009, 12:57

Eva-S

Folgen und Konvergenz / Grenzwert

$\begin{eqnarray*} an := \frac{(n-1)(n-2)}{(-1)^n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

wurde mir als Aufgabe gegeben mit der Aufgabenstellung "Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert, wenn er existiert."

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich habe absolut keinen blassen Schimmer wie ich hier vorgehen soll / muss.

07.08.2009, 13:05

kiste

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Berechne zuerst einmal den Grenzwert ohne den alternierenden Teil und schließe daraus Schlüsse auf den Grenzwert von a_n

07.08.2009, 13:08

Jacques

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Hallo,

Die Folge setzt sich zusammen aus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(-1)^n} \cdot \frac{(n - 1)(n - 2)}{(n + 1)(n+2)} = (-1)^n \cdot \frac{(n - 1)(n - 2)}{(n + 1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Der Bruch hat in Zähler und Nenner jeweils einen reinquadratischen Term stehen, also einen Term der Art n² + pn + q (p, q reelle Zahlen). Wenn n beliebig groß wird, nähert sich der Bruch also einer gewissen Zahl an.

Durch den Faktor (-1)^n werden alle ungeraden Glieder am Nullpunkt gespiegelt.

// edit

07.08.2009, 13:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jacques
// zu spät

Was heißt hier "zu spät"? Du hast ja quasi die komplette Lösung gepostest.

07.08.2009, 13:57

Jacques

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Stimmt, tut mir leid. Ich hab den Beitrag editiert.

07.08.2009, 18:22

Eva-S

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Zitat:

Original von Jacques
...
Wenn n beliebig groß wird, nähert sich der Bruch also einer gewissen Zahl an.

Hier würde ich es ausmultiplizieren, also zu $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-3n+2}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$ und das hiesse wiederum ich bekomme bei unendlichem n den Wert -1, oder?

07.08.2009, 22:02

Jacques

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-1 ist unmöglich, weil die Folgenglieder ausnahmslos nichtnegativ sind. Außer a(1) und a(2) sind sogar alle Folgenglieder positiv.

Wenn Du Dir beim Grenzwert unsicher bist, dann benutze das Kürzen durch die höchste Potenz:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2 + 3n + 2} \cdot \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2} }{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Dann ist es klar, oder?

Bei dem Verhalten der Folge für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ kommt es bei Zähler und Nenner nur auf diejenigen Summanden an, in denen die größte n-Potenz steht. Alle anderen Summanden kann man vernachlässigen, weil die durch sie erzeugen Abweichungen für große n keine Rolle mehr spielen.

08.08.2009, 09:25

Eva-S

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Deine Ausführungen habe ich soweit verstanden denke ich...

Also komme ich auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Nur den Satz

Zitat:

Original von Jacques
Außer a(1) und a(2) sind sogar alle Folgenglieder positiv.

verstehe ich nicht ganz genau bzw. kenne ich die Zuordnung a(1) etc. nicht!?

08.08.2009, 11:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Eva-S
Also komme ich auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Ja.

Zitat:

Original von Eva-S
kenne ich die Zuordnung a(1) etc. nicht!?

a(1) = a_1 = das erste Element der Folge. Augenzwinkern

09.08.2009, 12:06

Eva-S

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Eines macht mich noch stutzig:

wenn ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=1 \end{eqnarray*}$
(für alle geraden n) und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=-1 \end{eqnarray*}$
(für alle ungeraden n) zeige, habe ich doch zwei unterschiedliche Grenzen und damit insgesamt doch eigentlich keinen Grenzwert, oder?

09.08.2009, 12:46

klarsoweit

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So ist es. Genau das wollte Jacques auch in seinem ersten Beitrag andeuten.

10.08.2009, 11:39

Eva-S

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Zitat:

Original von klarsoweit
So ist es. Genau das wollte Jacques auch in seinem ersten Beitrag andeuten.

Kann ich pauschal sagen, dass für jede (alternierende) Folge die irgendwo
$\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$
stehen hat kein Grenzwert existiert?

10.08.2009, 11:52

Elucubrator

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Zitat:

Original von Eva-S

Zitat:

Original von klarsoweit
So ist es. Genau das wollte Jacques auch in seinem ersten Beitrag andeuten.

Kann ich pauschal sagen, dass für jede (alternierende) Folge die irgendwo
$\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$
stehen hat kein Grenzwert existiert?

Nö!

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^n}{n}\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

10.08.2009, 12:19

Eva-S

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also muss ich mir immer den grenzwert für ungerade n und für gerade n anschauen.

sind diese dann gleich habe ich einen grenzwert.
sind diese ungleich, dann habe ich keinen?

kann man das so pauschalisieren?

10.08.2009, 14:08

Jacques

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Hallo,

So könnte man es machen. Wenn aber tatsächlich nur der Faktor (-1)^n vor einer sonst „normalen“ Folge steht, bei der für alle Glieder dasselbe gilt, reicht schon die Untersuchung dieses „normalen“ Teils. Wenn er gegen 0 konvergiert, konvergiert auch die gesamte Folge. Sonst divergiert die Folge.

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