Komplexe Zahlenmenge

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Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlenmenge
Skizzieren Sie folgende Menge in der Komplexen Zahlenebene:



Ich betrachte die Zahlen z in der Form z=x+iy mit Re(z)=x und Im(z)=y






Ist meine Umformung so weit korrekt oder habe ich mal wieder was nicht beachtet ? So würde es für alle Zahlen gelten bei denen der Realteil kleiner/gleich dem Imaginärteil ist.

Wären zudem die y- und x-Achse auszuschließen, da man nicht durch Null teilen darf? Oder gilt das nur im Reellen ?
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest wohl an den Betrag denken, wenn du die Wurzel ziehstAugenzwinkern
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt nicht . Zum Beispiel erfüllt auch die Bedingung.

Cordovan
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis. Wieder eine Kleinigkeit, die ich einfach unterschlagen habe.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »



Also wären dies alle Zahlen in der Ebene, die von den beiden Winkelhalbierenden eingeschlossen werden (zwischen den Winkelhalbierenden und der y-Achse, also quasi eine Sanduhr die steht) ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast überhaupt nicht beachtet, daß sich das Relationszeichen einer Ungleichung umdreht, wenn man sie mit einer negativen Zahl multipliziert. Ich schlage folgendes Vorgehen vor:



Und ein Bruch ist dann größer oder gleich 0, wenn entweder der Nenner positiv und der Zähler positiv oder Null ist oder wenn der Nenner negativ und der Zähler negativ oder 0 ist, also




Betrachten wir den I. Fall:

Das logische "und" entspricht dem Schnitt zweier Mengen. Mit wird die Vereinigung der offenen Quadranten I und III beschrieben (denn ein Produkt ist positiv, wenn entweder beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind).
Und was ist nun mit ? Das ist äquivalent zu .
Jetzt betrachte die Unterfälle und . Welche Menge wird dann insgesamt durch beschrieben?
Und wie gesagt, ist dann die Punktmenge des I. Falls.

Und dann entsprechend die Punktmenge des II. Falls.
 
 
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Also das man das Relationszeichen umdreht bei Multiplikation mit einer negativen Zahl weiß ich. Habe ich das etwa unterschlagen weil ich beim multiplizieren mit x und y einfach nur den positiven Fall betrachtet habe ? ich möchte ja aus dem Fehler lernen und ihn beim nächsten mal vermeiden....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hast du.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Es ist mir schleiferhaft wie ich trotz vielen Rechnens bei solchen Aufgaben immer wieder einfachste "Grundregeln" ignoriere. Das wurmt mich mehr als an einer schwierigen Aufgabe ewig nicht weiterzukommen.
Hängemathe Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die Aufgabe nochmal neu durchgerechnet und zwar mit der Umformung von Leopold und bin dann auf folgende Lösungsmenge gekommen (siehe Anhang). Die Punkte auf den Winkelhalbierenden gehören mit dazu.

Eine Frage habe ich zudem noch: Was ist mit den Punkten auf den beiden Achsen? Dort ist ja x oder y Null, wodurch der Nenner Null wird. Dies ist ja eigentlich nicht erlaubt. Demnach drüften doch die Punkte auf den Beiden Achsen nicht dazugehören ?

Ferner muss ich feststellen das ich mit dem Berücksichtigen der Fälle dass y oder x negativ ist oder beides negativ ist wohl vier Fallunterscheidungen für die Ausganggleichung gemacht hätte und somit wohl viel länger gebraucht hätte, wenn ich überhaupt zum Ziel gekommen wäre verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht man sich das Ergebnis an, könnte man auch auf folgende Herleitung kommen:



kommt als Lösung nicht in Frage. Jedes kann aber durch



auf eindeutige Weise mittels Polarkoordinaten beschrieben werden. Also folgt weiter:



Wegen betrachtet man jetzt die vier Äste des Cotangensgraphen zwischen und . Man erhält aus die vier Möglichkeiten:









Und diese 4 Fälle beschreiben genau die von dir gezeichnete Menge.
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