Satz von Hahn-Banach

07.08.2009, 19:40

man2001

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Satz von Hahn-Banach

Hallo,
kann mir jemand genau erklären was der Satz von Hahn-Banach aussagt und wozu man ihn braucht.
Ich habe bereits den Wikipediartikel gelesen, versteh aber nicht:

1.) die Analogie "des eindimesionalen-Falls"
2.) was hat es mit der Function p aussich in der "Formulierung"
(warum mus sie sub-linear sein)

also eine anschaulich Erklärung wäre schön bzw ein kleines Beispiel
wenn möglich

schonmal vielen Dank im Vorraus

08.08.2009, 14:27

man2001

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sry leute ich muss das bald verstanden ahben
deswegen push

08.08.2009, 14:47

Gaußsche Zahl

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Also ich bin nicht der absolute Experte aber hier mal ein paar Hinweise:

Zitat:

kann mir jemand genau erklären was der Satz von Hahn-Banach aussagt und wozu man ihn braucht.

Zunächst einmal sei hier gesagt, dass es mehrere Versionen des Satzes gibt. Aus der linearen Algebra in reeller oder komplexer Version, dann gibt es noch die Fortsetzungsversion für normierter Räume.

Zitat:

1.) die Analogie "des eindimesionalen-Falls"

Mal ganz allgemein sagt dir der Satz, dass jedes stetige Funktional normgleich fortgesetzt werden kann.

Zitat:

2.) was hat es mit der Function p aussich in der "Formulierung"

Also wenn p sublinear ist stimmt der Satz, wäre p nicht mehr sublinear stimmt der Satz eben nicht mehr. Bevor du dir Sorgen darum machst, solltest du vlt. mal posten welchen Satz du im Skript hast. Dann wirst du auch schnell sehen wozu die sublinearität nötig ist.

Schau die mal den Beweis an!

Zitat:

also eine anschaulich Erklärung wäre schön bzw ein kleines Beispiel

Wie gesagt es ist wichtig zu wissen in welchen Raumdu bist, also ob du den Satz für Vektorräume oder für normierte Räume machst. Und der Sinn des Satzes ist wie gesagt die Existenz der Fortsetzung.

08.08.2009, 14:51

Mazze

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Im Wesentlichen sagt der Satz etwas über die Struktur der Dualräume aus, und vor allem das sie nicht leer sind. Das heisst, die Existenz von "genügend vielen" stetigen linearen Funktionalen auf normierten Räumen wird durch diesen Satz abgesichert (wenn die Voraussetzungen erfüllt sind).

Nehm Dir zum Beispiel ganz trivial mal den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ her mit der 1-Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \| \end{eqnarray*}$ . Die Norm ist Sublinear. Dazu wähle den linearen Unterraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und das lineare Funktional

$\begin{eqnarray*} f_\lambda(x) = \lambda x ~ \lambda \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist dies stetig also $\begin{eqnarray*} f_\lambda(x) \in \mathbb{R}' \end{eqnarray*}$ . Weiterhin ist dann natürlich

$\begin{eqnarray*} |f_\lambda(x)| \leq ||x|| \end{eqnarray*}$ . D.h die Voraussetzungen für den Satz von Hahn-Banach sind gegeben. Es gibt also für jedes Lambda , stetige und lineare Funktionale $\begin{eqnarray*} F_\lambda \end{eqnarray*}$ auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |F_\lambda(x)| \leq ||x|| \end{eqnarray*}$ die auf dem Unterraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_\lambda \end{eqnarray*}$ identisch sind. Eine mögliche Fortsetzung wäre etwa

$\begin{eqnarray*} F_\lambda (x) = \sum_{i=1}^{n}\lambda x_i \end{eqnarray*}$

Für den endlichdimensionalen Fall ist dies natürlich langweilig, wir können wie Du ja gesehen hast die Fortsetzung schnell angeben. Allerdings gilt der Satz auch für wesentlich schwierigere Vektorräume, und da reicht es vielleicht schon wenn man weiss das es diese Funktionale gibt, ohne sie genau zu kennen.

Formal korrekt müsst man hier den Unterraum mit der selben Anzahl von Komponenten wie die Obermenge schreiben, bei der n-1 Komponenten gleich 0 sind und eine ungleich null. Aus Isomorphiegründen hab ich das mal weggelassen.

Es gibt verschiedene Formulierungen des Satzes, daher wäre auch gut zu wissen wofür Du ihn brauchst.

08.08.2009, 15:04

man2001

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schonmal vielen dank

ich beziehe mich vollkommen auf die Formolierung wie sie bei Wiki steht.

was bedeutet normgleich?

und wenn ich das p weglasse funktioniert der beweis ja immer noch
nur das ich net sagen kann |F(x)| < p(x)

warum ist dies so wichtig.
und wenn das p nicht sublinear ist hab ich aj nur ne größer Einschränkung für meine Fortsetzung.

ist es den nicht graniert das genügent stetige Funktionale existieren?

ich mein es muss ja auch garantiert sein das auf meinem Unterraum schonmal ein Funktional existiert. Das ist aj dann auch nicht klar, oder?

Um es mal salop zu formulieren: Was brint mir eine solche Fortsetzung?

und dieses endlichdimensional Beispiel ahbe ich immer noch nicht verstanden?

08.08.2009, 15:08

Gaußsche Zahl

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Satz von Hahn Banach (Fortsetzungsversion):

Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein normierter Raum und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum. Zu jedem stetigen linearen Funktional $\begin{eqnarray*} u':U \rightarrow \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ existiert dann ein stetiges lineares Funktional $\begin{eqnarray*} x':X \rightarrow \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x'|_U = u' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Vert x'\Vert = \Vert u'\Vert \end{eqnarray*}$ .

Jetzt setzt doch mal alles aus Mazzes Beispiel ein, dann ist sehr schnell klar was der Satz aussagt... ;-)

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09.08.2009, 12:43

man2001

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Ja, also ok.
Ich finde zu jedem stetig linearen Funktional auf einem Unterraum eine Fortsetzung auf den ganzen Raum und kann dieses durch die Norm des Funktionals auf dem Unterraum
abschätzen.

aber:

1.) Was habe ich von dieser Fortsetzung?
2.) Wenn ich schon nicht weiß das auf einem Raum genug Funktional existieren, woher weiß ich dann das sie es auf dem Unterraum tun?
3.) Dieses Beispiel bei Wikipedia mit dem Eindimensionalen Fall habe ich immer nocht nicht verstanden.

09.08.2009, 14:53

man2001

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Also eigendlich ist es mir nur wichtig zu wissen was man von so einer Fortsetzung hat.

10.08.2009, 14:33

hahn-banach

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Ok...
zu 3.

mit diesen Koordinatenabbildung kannst du Element aus einem Vektorraum trennen (also unterscheiden)
diese Abbildung gibts nicht im unedlichdimensional (zumindest nicht stetig)
man will aber trozdem Mengen bzw Punkte trennen können (sehr wichtig in vielen Beweisen der Fuana) und das garantier der Satz von Hahn-Banach.

zu 1 & 2.

das weist du nicht... aber du kannst ja auf dem Unterraum (der auch endlichdimensional sein kann) eins angeben und dieses fortsetzt.

also man will den Dualraum eines normieren Raum untersuchen.
Jetzt ist aber nicht klar ob er auch genug elemente enthält oder vieleicht nur trivaler weise =0 ist.
Zum Glück ist das nie so wenn der Raum selbst ungleich 0 ist.
Jetzt enthält der Dualraum sogar soviele Funktionale das er die Punkte des Raumes trennt das heist zu 2 punkten x,y gibts immer ein Funktional f sodass $\begin{eqnarray*} f(x) \neq f(y) \end{eqnarray*}$ . was äquivalent dazu ist das
es zu jedem $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ein funktional g gibt sd $\begin{eqnarray*} g(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

und die idee ist jetzt man betrachtet jetzt zb den eindimensionalen Unterraum
$\begin{eqnarray*} \alpha x_0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und eine lineraes Funktional $\begin{eqnarray*} f(\alpha x) = \alpha \end{eqnarray*}$ ist stetig.
Wenn man jetzt diese Funtional auf den ganzen Raum fortsetzen könnte haben wir das was wir wollen erreicht.
Der Satz von Hahn-Banach sichert das und zwar für bel. Unterräume.

Das p mit dem du das Funktional abschätzt garantiert die Stetigkeit.

19.08.2009, 16:09

man2001

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warum sichert das p die Stetigkeit

20.08.2009, 21:30

man2001

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Zitat:

Das p mit dem du das Funktional abschätzt garantiert die Stetigkeit.

Ich verstehe nicht warum das p die Stetigkeit garantiert.
Kann mir das bitte jemand erklären?
vielen Dank

21.08.2009, 14:37

man2001

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weiß das niemand oder wisst ihr nicht was ich meine?

21.08.2009, 15:26

Cordovan

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Wann ist denn ein Operator stetig?

Cordovan

21.08.2009, 16:02

man2001

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ach so wenn die norm des Operrators beschränkt ist?
aber ich weiß ja nicht ob das p(x)<oo

21.08.2009, 16:26

Cordovan

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Zitat:

ach so wenn die norm des Operrators beschränkt ist?

Ja genau, geht doch.

Zitat:

aber ich weiß ja nicht ob das p(x)<oo

Ich verstehe nicht so ganz, was du mir sagen willst, aber p ist eine Abbildung in die reellen Zahlen, daher gibt es kein x mit $\begin{eqnarray*} p(x)=\infty \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

21.08.2009, 17:11

man2001

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ah ok
ich denke jetzt habe ich es verstanden
vielen dank euch allen

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