Die Unendlichkeit in der Mathematik?

Um zu beweisen, das es Unendlichkeit, in einer Theorie, gibt, muss man diesen Begriff zuerst einmal definieren.
Eine unendliche Menge beispielsweise ist als Menge definiert, die eine echte Teilmenge gleicher Mächtigkeit (das ist in gewisser Weise die Größe einer Menge; bei endlichen Mengen ist die Mächtigkeit die Anzahl der Elemente) besitzt.

Behauptung: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich

Zwei Mengen haben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine Bijektion (das ist eine injektive und surjektive Abbildung) zwischen ihnen gibt. Nun betrachten wir die Menge $\begin{eqnarray*} M:= \{n \in \mathbb N : n>3\} \end{eqnarray*}$ . Diese Menge ist offensichtlich eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Durch $\begin{eqnarray*} f: M \to \mathbb N ; m \to m - 3 \end{eqnarray*}$ wird eine Bijektion zwischen M und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ erklärt. Folglich ist die Menge der natürlichen Zahlen unendlich.

lg

Edit:

In der Analysis werden Unendlichkeiten meisten über den Grenzwertbegriff erfasst. Z.B. hat die Folge a_n:= n den (uneigentlichen) Grenzwert Unendlich, da es zu jeder Zahl a ein n gibt, so dass a_n > a.

09.08.2009, 12:25

Sly

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@ Felix: Dein Beitrag veraunschaulicht die Unendlichkeit zwar in gewohnter Art und Weise, ist aber keine Antwort auf seine Frage. Dein "Beweis" ist ungeeignet, da du im Zirkelschluss arbeitest.

Aber zum Thema. Wie oft bei solchen philosophischen Fragen: Einfache Frage, einfache Antwort - Man kann es nicht beweisen, sondern muss es schon durch ein Axiom fordern.

Gängigste Methode, die Mengenlehre zu axiomatisieren, sind die Zermelo-Fränkel-Axiome. (näheres siehe Wikipedia!)
Dort klärt ein Axiom gleich zwei Fragen, indem es die Existenz einer sogenannten induktiven Menge fordert: Einerseits, dass es überhaupt eine Menge gibt und andererseits liefert es gleich ein Beispiel für eine unendliche Menge.
In Formeln geschrieben

$\begin{eqnarray*} \exists M ( \exists x\; x\in M \quad\wedge\quad \forall y\quad y\in M\;\rightarrow\; y\cup\{y\} \in M) \end{eqnarray*}$

Schreibt man nun in dieser Situation $\begin{eqnarray*} y+1 := y\cup\{y\} \end{eqnarray*}$ und verwendet die von-Neumann-Darstellung der natürlichen Zahlen (näheres wieder Wikipedia!), so besagt das obige Axiom im Grunde nichts weiter, als dass die Menge der natürlichen Zahlen existiert. Hat man dies, so beantwortet sich die Frage nach der Unendlichkeit.

09.08.2009, 14:48

Felix

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Zitat:

Original von Sly
@ Felix: Dein Beitrag veraunschaulicht die Unendlichkeit zwar in gewohnter Art und Weise, ist aber keine Antwort auf seine Frage. Dein "Beweis" ist ungeeignet, da du im Zirkelschluss arbeitest.

Nein ein Zirkelschluss ist das nicht. Zunächst einmal definiere ich über eine gewisse Eigenschaft, was eine unendliche Menge ist, dann zeige ich, dass es eine Menge mit dieser Eigenschaft gibt. Wo beiße ich mir damit in den Schwanz verwirrt

Natürlich setzte ich die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen voraus, aber auf dieser Prämisse bauen auch alle Lehrbücher der Analysis/linearen Algebra auf.

Mir ist natürlich bewusst, dass ich dadurch nicht die Existenz von Unendlichkeit allgemein bewiesen habe, deswegen habe ich ja auch "in einer Theorie" geschrieben.

lg

09.08.2009, 16:09

earthie

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Zitat:

Original von DerInteressierte

Zitat:

Original von system-agent
Trotzdem würde es mich interessieren was du mit "darstellen" genau meinst.

Ja zum Beispiel durch eine Gleichung. Der beweis, dass es so etwas wie "Unendlich" gibt.

Gruß

hi zusammen,

@DerInteressierte: wenn du darauf hinauswillst, dass dir die Mathematik, die philosophischen Fragen der Neuzeit lösen soll, muss ich dich enttäuschen. Die Unendlichkeit ist im Rahmen der Mathematik, wie die bisherigen Antworten zeigen, nur beweisbar, wenn sie definiert wurde und mit einem axiomatisch festgelegten System für dasselbe hergeleitet bzw bewiesen wurde.

Da es aber ausserhalb von Mathematikbüchern kein absolut gesichertes Wissen gibt smile

, können Naturgesetze auch nur empirisch überprüft, aber nicht aus "göttlichen Axiomen" hergeleitet werden.

Vergleiche Relativitätstheorie mit dem Axiom der konstanten Lichtgeschwindigkeit: Wenn jemand die Axiome der Relativitätstheorie beweisen könnte, stimmt sofort alles, was aus dieser Theorie hergeleitet wurde. Solange aber niemand die göttliche Erleuchtung hat, wird dies allerdings niemand beweisen können.

Ansonsten kannst du dich ein bisschen über bijektive Abbildungen des Universums in die Erdkugel amüsieren. Mit Google findest du sicher was.

Gruss earthie

09.08.2009, 17:00

Leopold

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Ich stimme Sly und earthie zu: Die Unendlichkeit ist innerhalb des Rahmens der Mathematik nicht beweisbar. Die Mathematik setzt sozusagen die Unendlichkeit als gegeben voraus (ob nun im Sinne der platonischen Ideenwelt oder axiomatisch gefordert, ist eine Frage des Vorgehens).

09.08.2009, 17:30

Felix

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Zitat:

Da es aber ausserhalb von Mathematikbüchern kein absolut gesichertes Wissen gibt

Auch was in Mathematikbücher steht ist nicht absolut gesichert und damit meine ich nicht eventuelle Fehler.

lg

09.08.2009, 17:49

earthie

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Zitat:

Original von Felix

Zitat:

Da es aber ausserhalb von Mathematikbüchern kein absolut gesichertes Wissen gibt

Auch was in Mathematikbücher steht ist nicht absolut gesichert und damit meine ich nicht eventuelle Fehler.

lg

geht man davon aus, dass der Mensch, insbesondere der Mathematiker, bei vollem Bewusstsein ist, würde ich menschgemachtes sehr wohl als absolut gesichertes Wissen bezeichnen Augenzwinkern

Gruss earthie

09.08.2009, 22:13

Kopfrechner

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Hallo,

die Frage nach der Existenz von unendlichen Mengen beschäftigt Mathematiker und Philosophen schon lange und wurde Anfang des 20.Jahrhunderts auf verschiedene Arten beantwortet. Stichworte zum Suchen sind z.B. "aktuell unendlich", "potentiell unendlich", "Konstruktivismus". Aristoteles ging z.B. von der Existenz des aktuell unendlichen aus.
Diese Frage ist spannend und nicht in kurzen Kommentaren abzuhanlden, wenn sie vertiefend untersucht wird. Ist ein wichtiges Thema im Rahmen der mathematischen Philosophie.

Gruß, Kopfrechner

10.08.2009, 10:08

Leopold

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