Stetigkeit, Polstelle, Diff'barkeit

08.08.2009, 20:03

Student2009

Stetigkeit, Polstelle, Diff'barkeit

Hallo liebe Mathematiker.

Sicher ist dies ein oft gennantes Thema, aber ich habe mit der Suche nichts passendes gefunden, sorry.

Also ich habe hier so ein paar Aufg zu Stetigkeit und Polstellen. Ich werf das aber alles ständig durcheinander. Irgendwie hängen diese Themen ja auch zusammen, aber wie ist mir immer noch schleierhaft. Ich muss das für mein Studium auch nicht bis ins letzte Detail verstehen. Aber so dass ich mir merken kann wie ich was nachweise müsste schon sein.

Bitte sagt mir, ob ich mit folgenden ganz allgemeinen Aussagen richtig liege:
- Eine Polstelle ist eine nicht hebbare Def-Lücke einer Funktion.
- Zum Nachweis einer Polstelle genügt es die Defintionslücke zu benennen die nach sämtlichem Kürzen und vereinfaches des Funktionstherms immer noch vorhanden ist. Die "rausgekürzten" waren hebbare Def-Lücken.
- Den Limes von beiden Seiten brauche ich hier nur wenn mich interessiert ob es eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel ist.

- Stetigkeit dagegen prüfe ich, indem die Funktion von beiden Seite auf die zu prüfende Stelle laufen lasse. Ist der Limes gleich, ist die Funktion auch in diesem Punkt stetig. Sind sie verschieden ist sie unstetig in diesem Punkt.

- Differenzierbar ist eine Fktn wenn sie in genau diesem Punkt stetig ist und ??? Auch hier ist irgendein Limes von beiden Seiten zu prüfen. Kein Wunder dass ich da was durcheinander werfe.

Vielen Dank für Bestätigung oder Korrektur!

08.08.2009, 20:19

system-agent

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RE: Stetigkeit, Polstelle, Diff'barkeit

Zitat:

Original von Student2009
- Eine Polstelle ist eine nicht hebbare Def-Lücke einer Funktion.

Ja, eine Polstelle ist nicht hebbar. Im ganz Allgemeinen ist jedoch nicht jede nicht-hebbare Definitionslücke eine Polstelle.

Zitat:

Original von Student2009
- Zum Nachweis einer Polstelle genügt es die Defintionslücke zu benennen die nach sämtlichem Kürzen und vereinfaches des Funktionstherms immer noch vorhanden ist. Die "rausgekürzten" waren hebbare Def-Lücken.

Wenn du es mit rationalen Funktionen zu tun hast, dann schon, das heisst mit Funktionen der Form
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zwei Polynome.

Allgemeiner:
Eine (reelle) Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ hat in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen Pol, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0-0}f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ [linksseitiger Grenzwert]
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0+0}f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ [rechtsseitiger Grenzwert]

Zitat:

Original von Student2009
- Den Limes von beiden Seiten brauche ich hier nur wenn mich interessiert ob es eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel ist.

Siehe oben.

Zitat:

Original von Student2009
- Stetigkeit dagegen prüfe ich, indem die Funktion von beiden Seite auf die zu prüfende Stelle laufen lasse. Ist der Limes gleich, ist die Funktion auch in diesem Punkt stetig. Sind sie verschieden ist sie unstetig in diesem Punkt.

Nein, eine Funktion kann nur dort stetig sein wo sie auch definiert ist.
Falls sie an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist hat sie dort natürlich auch einen Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst dann stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert existiert, beide Grenzwerte gleich sind und die Grenzwerte gleich dem Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ sind.

Zitat:

Original von Student2009
- Differenzierbar ist eine Fktn wenn sie in genau diesem Punkt stetig ist und ???

Das ist natürlich Quatsch. Die Betragsfunktion sollte dir seit deiner Gymnasialzeit als Gegenbeispiel dafür bekannt sein:
Sie ist stetig in der Null, aber nicht differenzierbar [anschaulich gesagt wegen dem Knick im Graphen].
Aber die Umkehrung ist wahr:
Ist eine Funktion in einem gewissen Punkt differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.

08.08.2009, 21:05

Student2009

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Danke für die schnelle Antwort. Leider kann ich nicht sehr viel damit anfangen. Bitte versucht dran zu denken, dass ich als Mathe-scheue Person mit Begriffen wie differenzierbar, Betragsfunktion etc. nicht gleich eindeutig etwas verbinde das unbedingt 100% korrekt ist. Ich bin gerade notgedrungen dabei mir das alles Schritt für Schritt zu erarbeiten. Aber sowas wie "wie du sicher noch aus der Oberstufe kennst" brauch man bei mir kaum versuchen...

Also muss man für eine Polstelle doch die Grenzwerte von beiden Seiten prüfen? Ich dachte das wäre dann schon die Probe auf Stetigkeit?

Stetig ist eine Funktion in einem bestimmten Punkt also nur wenn der Grenzwert von beiden Seiten an diesen Punkt angenähert gleich ist UND er gleich dem Funktionswert ist. An diesen "Funktionswert" f (x0) komme ich, indem ich in der Funktion für jedes x den Wert von x0 einsetze??

Mit dem letzten kann ich gar nichts anfangen. Ich habe mir aus einer Übung notiert dass es für Differenzierbarkeit 2 Kriterien gibt. Die Funktion muss stetig sein UND der Limes von irgendwas muss überprüft werden. Ist quatsch? Dann bitte so einfach wie möglich: Wie prüfe ich auf Diffbarkeit?

Ich danke dir und allen anderen die sich hier Zeit nehmen!!

08.08.2009, 21:44

system-agent

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Zitat:

Original von Student2009
Danke für die schnelle Antwort. Leider kann ich nicht sehr viel damit anfangen. Bitte versucht dran zu denken, dass ich als Mathe-scheue Person mit Begriffen wie differenzierbar, Betragsfunktion etc. nicht gleich eindeutig etwas verbinde das unbedingt 100% korrekt ist. Ich bin gerade notgedrungen dabei mir das alles Schritt für Schritt zu erarbeiten. Aber sowas wie "wie du sicher noch aus der Oberstufe kennst" brauch man bei mir kaum versuchen...

Aber ein Abitur hast du schon gemacht in dem das alles genauso Prüfungsgegenstand war?
Bitte nicht falsch verstehen, aber mit dem Abitur hast du von den Grundlagen schon einiges gehört, wenn auch nicht in der Ausführlichkeit wie in einem Studium.
Gerade wie man einen Funktionswert bestimmt.

Zitat:

Original von Student2009
Also muss man für eine Polstelle doch die Grenzwerte von beiden Seiten prüfen? Ich dachte das wäre dann schon die Probe auf Stetigkeit?

Die Definition einer Polstelle ist eben, dass die Werte der Funktion in jeder Umgebung der fraglichen Stelle gleichmässig gegen unendlich wachsen.
Auf Deutsch:
Die Grenzwerte von sämtlichen Seiten müssen [betragsmässig] unendlich sein.
Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hat einen Pol in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , da
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0-0}|f(x)|=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0+0}|f(x)|=\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Student2009
Stetig ist eine Funktion in einem bestimmten Punkt also nur wenn der Grenzwert von beiden Seiten an diesen Punkt angenähert gleich ist UND er gleich dem Funktionswert ist.

Ja.

Zitat:

Original von Student2009
An diesen "Funktionswert" f (x0) komme ich, indem ich in der Funktion für jedes x den Wert von x0 einsetze??

Natürlich.

Zitat:

Original von Student2009
Mit dem letzten kann ich gar nichts anfangen. Ich habe mir aus einer Übung notiert dass es für Differenzierbarkeit 2 Kriterien gibt. Die Funktion muss stetig sein UND der Limes von irgendwas muss überprüft werden. Ist quatsch? Dann bitte so einfach wie möglich: Wie prüfe ich auf Diffbarkeit?

Um zu prüfen ob etwas eine gewisse Eigenschaft aufweist muss man überprüfen ob das Etwas die Definition der gewissen Eigenschaft erfüllt.
Ist die Definition erfüllt, hat das Etwas die Eigenschaft. Ist sie nicht erfüllt, ist die Eigenschaft auch nicht vorhanden.
Deshalb: Wie ist denn die Differenzierbarkeit definiert?

09.08.2009, 15:44

Student2009

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Nachdem ich hier schon was geschrieben hatte, habe ich gerade beschlossen zu deinem ersten Absatz einfach gar nichts zu schreiben. Ist doch Zeitverschwendung. Also lass uns lieber dem wesentlichen zuwenden...

Also, eine Polstelle ist eine nicht hebbare Definitionslücke. Aber zusätzlich muss der Limes von beiden Seiten auf den fraglichen Punkt her +/- unendlich sein.
Zum Nachweis einer Polstelle genügt es in der Praxis oft, die Defintionslücke zu benennen die nach sämtlichem Kürzen und vereinfaches des Funktionstherms immer noch vorhanden ist. Die "rausgekürzten" waren hebbare Def-Lücken.

Korrekt so?

Im Unterschied dazu ist eine Ftkn an einem Punkt stetig wenn der Grenzwert von beiden Seiten gleich dem Funktionswert ist. Ist er verschieden oder ungleich des Funktionswertes, dann ist die Fktn an diesem Punkt unstetig. Und eventuell eine Polstelle??

Die Defintion von Diff'barkeit habe ich mir bei Wikipedia gerade noch mal genau angeguckt. Ich hatte mir das damals wohl etwas undeutlich aufgeschrieben weil ich es nicht verstanden habe. Die Ableitung der Funktion an der Stelle x0 muss existieren. Das ist mir etwas schwammig. Aber was ich in alten Aufzeichnungen gefunen habe, ist dass wir geprüft haben ob der Grenzwert von oben und unten gleich ist wenn man x0 in diese Formel einsetzt. Siehe Def.2 bei Wikipedia.

Es geht ja vor Allem darum dass ich bei einer Kurvendiskussion alle diese Punkte abhaken kann. Ein vertieftes Verständnis macht das Merken und Anwenden natrürlich einfacher. Aber hauptsache ich weiß was ich wann tun muss.

Also bin ich für jede Hilfe dankbar. Das klingt für mich alles so ähnlich. Immer müssen irgendwelche Grenzwerte gleich sein smile

Ich will mir sobald wie möglich eine Liste mit diesen Dingen machen wo alles ganz genau drauf steht. So dass ich verstehe was da steht, keine ewig langen mathem. Definitionen. Dann hab ich was wo ich immer wieder nach gucken kann.

09.08.2009, 16:22

system-agent

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Zitat:

Original von Student2009
Also, eine Polstelle ist eine nicht hebbare Definitionslücke. Aber zusätzlich muss der Limes von beiden Seiten auf den fraglichen Punkt her +/- unendlich sein.

Ja.

Zitat:

Original von Student2009
Zum Nachweis einer Polstelle genügt es in der Praxis oft, die Defintionslücke zu benennen die nach sämtlichem Kürzen und vereinfaches des Funktionstherms immer noch vorhanden ist. Die "rausgekürzten" waren hebbare Def-Lücken.

In der Praxis ist so eine Sache. Wenn du bloss mit rationalen Funktionen [klick] zu tun hast, dann ist das OK so.

Zitat:

Original von Student2009
Im Unterschied dazu ist eine Ftkn an einem Punkt stetig wenn der Grenzwert von beiden Seiten gleich dem Funktionswert ist. Ist er verschieden oder ungleich des Funktionswertes, dann ist die Fktn an diesem Punkt unstetig.

Ja.

Zitat:

Original von Student2009
Und eventuell eine Polstelle??

Das muss nicht sein. Ein Pol kann nur dort sein, wo die Funktion garnicht erst definiert ist. Hast du aber einen Funktionswert, dann kann dort niemals ein Pol gewesen sein aber trotzdem können die beidseitigen Grenzwerte und der Funktionswert verschieden sein.

Betrachte als Beispiel eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} x\mapsto\left\{\begin{array}{cc}1 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -1 & x<0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$
[die sogenannte Signumfunktion].
Betrachte hier einmal die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist klar $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ , aber es gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0-0}f(x)=-1\neq1=\lim_{x\to0+0}f(x) \end{eqnarray*}$ .
Trotzdem hat die Funktion keinen Pol in Null.

Zitat:

Original von Student2009
Die Defintion von Diff'barkeit habe ich mir bei Wikipedia gerade noch mal genau angeguckt. Ich hatte mir das damals wohl etwas undeutlich aufgeschrieben weil ich es nicht verstanden habe. Die Ableitung der Funktion an der Stelle x0 muss existieren. Das ist mir etwas schwammig.

Das stand sicherlich nicht in der Definition drin, denn wie kann man einen Begriff erklären wenn man schon den fraglichen Begriff nutzt? Augenzwinkern

Zitat:

Original von Student2009
Aber was ich in alten Aufzeichnungen gefunen habe, ist dass wir geprüft haben ob der Grenzwert von oben und unten gleich ist wenn man x0 in diese Formel einsetzt. Siehe Def.2 bei Wikipedia.

Ja. Es ist sicher nicht überflüssig zu sagen, dass mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} \end{eqnarray*}$ eigentlich 2 Grenzwerte gemeint sind, die gleich sein müssen.
Das bedeutet:
Falls $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0-0}\text{blabla}=\lim_{x\to x_0+0}\text{blabla} \end{eqnarray*}$ , dann schreibt man dafür
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\text{blabla} \end{eqnarray*}$

Umgekehrt, falls man die Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\text{blabla} \end{eqnarray*}$ fordert, dann bedeutet das, dass die beiden Grenzwerte
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0-0}\text{blabla} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0+0}\text{blabla} \end{eqnarray*}$ beide existieren müssen und gleich sein müssen.

Ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto|x| \end{eqnarray*}$ , also eigentlich $\begin{eqnarray*} x\mapsto\left\{\begin{array}{cc}x & x\geq0 \\ -x & x<0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$ .

(a) Überprüfe die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .
[Hinweis: es ist stetig]
(b) Überprüfe die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .
[Hinweis: es ist nicht differenzierbar]

10.08.2009, 19:57

Student2009

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Danke für deine lange Antwort.

Es kann sich aber auch um eine Polstelle handeln, wenn der Grenzwert von der einen Seite - unendlich und von der anderen + unendlich ist, oder??

"In der Praxis ist so eine Sache. Wenn du bloss mit rationalen Funktionen [klick] zu tun hast, dann ist das OK so."
Wir haben es natürlich auch mit e-Fktn etc zu tun. Da müsste man dann noch die Grenzwerte prüfen oder was?

Danke auch für die ausführliche Erklärung des Limes. Leuchtet mir ein.
Aber wie mir das jetzt dabei hilft zu bestimmen ob eine Funktion diffbar ist oder nicht, das weiß ich nicht.
Setze ich wirklich einfach nur den Punkt x0 in diese definierte Formel (die sich dann wohl Ableitung der Funktion an der Stelle x0 nennt) ein und prüfe ob der Limes existiert (also von beiden Seiten gleich ist)? Limes existiert=diffbar, Limes existiert nicht = nicht diffbar.
Korrekt so?

Ich danke dir!!!

11.08.2009, 00:39

system-agent

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Zitat:

Original von Student2009
Es kann sich aber auch um eine Polstelle handeln, wenn der Grenzwert von der einen Seite - unendlich und von der anderen + unendlich ist, oder??

Dann ist es sogar eine Polstelle, da in der Definition bloss verlangt wird, dass die Funktionswerte betragsmässig gegen unendlich gehen.

Zitat:

Original von Student2009
Wir haben es natürlich auch mit e-Fktn etc zu tun. Da müsste man dann noch die Grenzwerte prüfen oder was?

Was meinst du mit "natürlich" ?
Und ja, per Definitionem ist eine Stelle eine Polstelle wenn wie schon erwähnt die Funktionswerte betragsmässig nach unendlich gehen bei Annäherung an diese gewisse Stelle.
Und bei allgemeineren Funktionen als blos rationale Funktionen [zb. e-Funktionen etc etc] muss man die Definition überprüfen.

Zitat:

Original von Student2009
Danke auch für die ausführliche Erklärung des Limes. Leuchtet mir ein.
Aber wie mir das jetzt dabei hilft zu bestimmen ob eine Funktion diffbar ist oder nicht, das weiß ich nicht.

Na wenn die Existenz eines gewissen Grenzwerts gefordert ist, dann untersuchst du ob die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und auch noch gleich sind.
Existiert einer der einseitigen Grenzwerte nicht, dann kann "der" Grenzwert auch nicht existieren.
Existieren vielleicht beide einseitigen Grenzwerte aber sind sie unterschiedlich, dann existiert "der" Grenzwert nicht.
Genau das tritt bei der Überprüfung der Definition der Differenzierbarkeit der Betragsfunktion an der Stelle Null ein.

Zitat:

Original von Student2009
Setze ich wirklich einfach nur den Punkt x0 in diese definierte Formel (die sich dann wohl Ableitung der Funktion an der Stelle x0 nennt) ein und prüfe ob der Limes existiert (also von beiden Seiten gleich ist)? Limes existiert=diffbar, Limes existiert nicht = nicht diffbar.
Korrekt so?

Ja, korrekt so.

11.08.2009, 11:09

Kopfrechner

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Hallo miteinander,
ich möchte an einigen konkreten Funktionen, deren Verlauf gut überschaubar ist, einmal alles aufzuzeigen. Damit die betrachtete Stelle nicht gerade $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist, habe ich $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ genommen.

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=\frac{1}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(x)=\frac{x^2-4x-4}{x-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_4(x)=\frac{e^x}{x-2} \end{eqnarray*}$

Alle Funktionen haben den Definitionsbereich D=R\{2}, wobei f1 Pol mit VZW, f2 Pol ohne VZW, f3 eine (hebbare) Lücke, f4 Pol mit VZW haben. (Falls der Funktionsverlauf nicht klar ist: Funktionsplotter nehmen ...)

Alle Funktionen sind stetig in D, da an jeder Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ sowohl f(x0) als auch die links- und rechtsseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.

Alle Funktionen sind differenzierbar (auch Differenzierbarkeit wird nur für Werte $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ definiert/ untersucht.)

Jetzt zwei Funktionen mit Unstetigkeitsstelle(n):
$\begin{eqnarray*} g_1(x)=|x-2| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_2(x)=[x] \end{eqnarray*}$

g1 ist die um zwei nach rechts verschobene Betragsfunktion (mit "Knick"), g2 ist die Gauß-Klammerfunktion der "größten ganzen Zahl", d.h.
g2(2)=2, g(2,7)=2, g2(2,9999)=2, g2(3)=3, g2(1,9999)=1, ... und ergibt eine Treppenfunktion (Der Graph ist natürlich ungenau, da er bei $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ springt!).
und

g1 und g2 sind auf D=R definiert.

g1 ist stetig, aber in $\begin{eqnarray*} x_0=2 \in D \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar, da der linksseitige Grenzwert -1, der rechtsseitige +1 ist.

g2 ist bei $\begin{eqnarray*} x_0=2 \in D \end{eqnarray*}$ nicht stetig, da $\begin{eqnarray*} g_2(2)=2 \end{eqnarray*}$ , der rechtsseitige Grenzwert zwar 2, der linksseitige aber 1 ist! g2 ist für alle ganzen Zahlen x unstetig. An den Unstetigkeitsstellen ist g2 nicht differenzierbar, da die Sekantensteigungen von rechts her zwar 0 sind, von links her aber gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen.

Für mich löst dies übrigens auch die selbstgestellte Aufgabe, einmal einen längeren Text mit Latex zu machen, das fehlte mir bisher smile

Gruß, Kopfrechner

11.08.2009, 11:29

Kopfrechner

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Hallo, $\begin{eqnarray*} f_3(x)=\frac{x^2-4x-4}{x-2} \end{eqnarray*}$ muss natürlich heißen $\begin{eqnarray*} f_3(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2} \end{eqnarray*}$

Gruß, Kopfrechner

11.08.2009, 23:24

Student2009

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Ich danke euch beiden, wirklich klasse.

Ich denke ich blicke so weit durch. Falls nach etwas Üben noch Unklarheiten auftreten sollten, melde ich mich noch mal.

Also - noch mal vielen Dank!

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