Mathematik Olympiade- Ein Gleichungssystem

09.08.2009, 12:14	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematik Olympiade- Ein Gleichungssystem Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Man bestimme alle Tripel (x; y; z) reeller Zahlen, die Lösung des Gleichungssystems $\begin{eqnarray} x²+yz=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y²+xz=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z²+xy=2 \end{eqnarray}$ sind. Ich habe an sowas gedacht: $\begin{eqnarray} (x+y)²+(x+z)²+(y+z)²=12 \end{eqnarray}$ wobei man O.B.d.A $\begin{eqnarray} x+y\geq x+z\geq y+z \end{eqnarray}$ annehmen kann (oder?) Aber das hilft offenbar nichts, so kann ich nur die natürlichen Tripel finden, aber es geht ja um reele Zahlen, kann ich die 12 noch irgendwie auf der linken Seite der Gleichung einbinden, so dass ich eine Summe von nichtnegativen Zahlen bekomme die gleich null sein muss? Oder ist der Lösungsweg hier ein ganz anderer? Bis denn mathe760
09.08.2009, 13:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die drei Gleichungen summiert, und kommst auf die Quadratsumme, die dich aber vorläufig nicht weiterbringt. Was hältst du von Differenzbildung der Gleichungen, das scheint mir in Hinblick auf Elimination deutlich erfolgversprechender...
20.08.2009, 11:17	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo leider konnte ich nicht früher hier rein schreiben. Dann ist alles klar es gibt folgende Lösungen, wobei das +- hier heissen soll, das beliebig zwischen den Vorzeichen gewechselt werden darf: (1,1,1) (-1,-1,-1) (+-sqrt2,+-sqrt2,0) (+-sqrt2,0,+-sqrt2) (0,+-sqrt2,+-sqrt2) Vielen Dank für die erneute Hilfe. Bis denn mathe760
20.08.2009, 13:52	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
(+-sqrt2,+-sqrt2,0) (+-sqrt2,0,+-sqrt2) ist keine Lösung
20.08.2009, 14:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\sqrt{2},\sqrt{2},0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-\sqrt{2},-\sqrt{2},0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\sqrt{2},0,\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-\sqrt{2},0,-\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ sind Lösungen, wie die Probe zeigt. Ich nutze bewusst nicht die $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ -Schreibweise, da die bei mehrfachem Auftreten innerhalb eines Ausdrucks missinterpretiert werden kann.
25.08.2009, 19:51	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok jetzt ist alles klar, vielen Dank Bis denn mathe760
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