geschnittener Würfel

09.08.2009, 16:33

oerny

geschnittener Würfel

Hallo ich habe folgende Aufgabe

ich habe einen Würfel mit der Kantenlänge a.
wie weit sind die parallele Ebenen zur eingezeichnetnen Ebene entfernt, wenn die beiden eingezeichneten Punkte auf diesen liegen.

Ich finde einfach keinen Ansatz

09.08.2009, 16:50

riwe

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RE: geschnittener Würfel
das wäre im prinzip leicht mit der HNF zu lösen,
wenn man die koordinaten der "eingezeichneten" punkte kennte/ kennen täterte smile

09.08.2009, 16:53

oerny

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naja der eine ist bei (0,0,0) der andere bei (.5,.5,.5)
aber was ist eine HNS?

09.08.2009, 18:03

riwe

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Zitat:

Original von oerny
naja der eine ist bei (0,0,0) der andere bei (.5,.5,.5)
aber was ist eine HNS?

das weiß ich auch nicht smile

nachdem ich nun gegoogelt habe:
HNS: kroatischer fußballverband
HNO: hals-nasen-ohren (arzt)

HNF: hessesche normalform,
damit kann man in R3 den abstand eines punktes von einer ebene bestimmen.

und die koordinaten sollen vermutlich heißen:
A(0/0/0) und B(0.5a/0.5a/0.5a) oder verwirrt

stelle doch einmal die ebenengleichung auf.

09.08.2009, 18:09

oerny

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oh hns war dann wohl meine erfindung ;-)

die Ebengleichung müsst dann doch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} -a \\ 0 \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder?

09.08.2009, 18:45

riwe

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das ist keine (ebenen)gleichung
und wenn du sie dazu machst, steckt ein vorzeichenfehler drin

09.08.2009, 18:48

oerny

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Zitat:

Original von oerny
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} -a \\ 0 \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder?

stimmt es müsste
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder?[/quote]
heißen

warum ist das keine ebenengleichung

09.08.2009, 18:51

riwe

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eine ebenengleichung in parameterform schaut in etwa so aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\text{und jetzt kommt dein TERM} \end{eqnarray*}$

09.08.2009, 19:02

oerny

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ich glaube ich steh gerade echt auf dem schlacuh, hab ich dann

$\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wie mach ich jetzt weiter

09.08.2009, 19:12

riwe

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wenn x ein vektor ist, dann stimmt´s.

und wenn du die HNF nicht kennst, kannst du z.b. die lotgerade g von P auf E aufstellen, den schnittpunkt S von E und g und anschließend den abstand |PS| bestimmen.

09.08.2009, 19:20

oerny

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dann habe ich aber nicht den abstand von zwei ebenen, die durch die beiden punkte laufen und parallel zu der gegebenen sind. sondern nur den abstand von einem punkt zu der ebene?
das müsste ich dann für beide punkte machen und die Längen der Lotgeraden addieren?

Wie geht denn die HNF

09.08.2009, 20:34

riwe

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wenn du den abstand der beiden parallelen ebenen willst, ja Freude

die ebene lautet in koordinatenform:

$\begin{eqnarray*} x+y+z-a=0 \end{eqnarray*}$

hat also den normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}=(1/1/1)^T \end{eqnarray*}$

damit die HNF: $\begin{eqnarray*} \frac{x+y+z-a}{\sqrt{1+1+1}}=0 \end{eqnarray*}$

nun den punkt $\begin{eqnarray*} A(0/0/0) \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} d(A;E)=\frac{0+0+0-a}{\sqrt{3}}=-\frac{a}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

und analog

$\begin{eqnarray*} d(B;E)=\frac{a}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
und damit bekommst du den abstand der beiden parallelen ebenen:

$\begin{eqnarray*} d(E_1;E_2)=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

und wenn das auch noch stimmt smile

auf jeden fall geht das prinzip so, rechenfehler inkludiert

09.08.2009, 21:50

oerny

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wie komm ich auf die Koordinatenform

und geht die HNF (Hessesche Normalform?) immer so:
$\begin{eqnarray*} \frac{Koordinatenform}{|Normalvektor|} = 0 \end{eqnarray*}$
und kann ich mit ihr immer den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene bestimmen?

bei Punkt B(0.5a,0.5a,0.5a) wäre das dann
wenn ich den einsetze hätte ich doch
$\begin{eqnarray*} d(B;E)=\frac{0.5a}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

und ja deine Lösung stimmt Freude

09.08.2009, 23:40

riwe

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da hast du alles richtig verstanden und umgesetzt. Freude

zur koordinatenform:
bestimme einen normalenvektor entweder über das vektorprodukt oder mit 2maliger anwendung des skalarproduktes - der normalenvektor steht auf die beiden vektoren der paranmeterform senkrecht,
anschließend kommst du über die normalvektorform auf die koordinatenform, also:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{a})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

10.08.2009, 00:05

oerny

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also ich habe dann das Vektorproduk aus diesen beiden Vektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} x \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dürfte ja egal sein ob ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bekomme, da linar abhängig.
und in der HNF die Quadrate stehen.

Meinen Normalenvektor kann ich jetzt als Koefizienten vor die Koordinaten schreiben, aber woher kommt das -a?

10.08.2009, 15:49

riwe

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na du brauchst doch auch noch einen PUNKT smile

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-(a/0/0)^T)\cdot (1/1/1)^T=0 \end{eqnarray*}$

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